Bài tập nâng cao · Bài 74
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 74
Cho hàm số $y=x^3-6x^2+9x-1$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Hỏi trên đường thẳng $y=3$ có bao nhiêu điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến $\left( C \right)$ mà 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
Xem lời giải
Lời giải
Lấy điểm $M\left( m;3 \right)$ bất kì thuộc đường thẳng $y=3$. Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( m;3 \right)$ có hệ số góc $k$ có phương trình $y=k\left( x-m \right)+3$.
Ta có: $y'=3x^2-12x+9$. Để $d$ tiếp xúc với đồ thị $\left( C \right)$ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
$\left\{\begin{array}{l}x^3-6x^2+9x-1=k\left( x-m \right)+3\ \ \left( 1 \right)\\k=3x^2-12x+9\ \ \left( 2 \right)\end{array}\right.$.
Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta có:
$\begin{array}{l}x^3-6x^2+9x-1=\left( 3x^2-12x+9 \right)\left( x-m \right)+3\\\Leftrightarrow 2x^3-3\left( m+2 \right)x^2+12mx-9m+4=0\\\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ 2x^2-\left( 4+3m \right)x+9m-4 \right]=0\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=1\\2x^2-\left( 4+3m \right)x+9m-4=0\end{array}\right.\end{array}$
Với $x=1\Rightarrow k=0$. Tiếp tuyến là $y=3$.
Do không có tiếp tuyến nào của đồ thị vuông góc với tiếp tuyến $y=3$, nên yêu cầu bài toán tương đương với phương trình $2x^2-\left( 4+3m \right)x+9m-4=0\ \ \left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$, và tiếp tuyến tại chúng vuông góc với nhau.
Phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
$\begin{array}{l}\Leftrightarrow \Delta=\left( 4+3m \right)^2-8\left( 9m-4 \right)>0\\\Leftrightarrow 9m^2-48m+48>0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m<\frac{4}{3}\\m>4\end{array}\right.\end{array}$
Theo Viet, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=\frac{4+3m}{2}\\x_1.x_2=\frac{9m-4}{2}\end{array}\right.$
Ta có: $\begin{array}{l}f'\left( x_1 \right).f'\left( x_2 \right)=-1\Leftrightarrow \left( 3x_1^2-12x_1+9 \right).\left( 3x_2^2-12x_2+9 \right)=-1\\\Leftrightarrow \left( x_1x_2 \right)^2-4x_1x_2\left( x_1+x_2 \right)+3\left( x_1+x_2 \right)^2+10x_1x_2-12\left( x_1+x_2 \right)+9=\frac{-1}{9}\\\Leftrightarrow m=\frac{26}{27}\end{array}$
Vậy $M\left( \frac{26}{27};3 \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có: $y'=3x^2-12x+9$. Để $d$ tiếp xúc với đồ thị $\left( C \right)$ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
$\left\{\begin{array}{l}x^3-6x^2+9x-1=k\left( x-m \right)+3\ \ \left( 1 \right)\\k=3x^2-12x+9\ \ \left( 2 \right)\end{array}\right.$.
Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta có:
$\begin{array}{l}x^3-6x^2+9x-1=\left( 3x^2-12x+9 \right)\left( x-m \right)+3\\\Leftrightarrow 2x^3-3\left( m+2 \right)x^2+12mx-9m+4=0\\\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ 2x^2-\left( 4+3m \right)x+9m-4 \right]=0\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=1\\2x^2-\left( 4+3m \right)x+9m-4=0\end{array}\right.\end{array}$
Với $x=1\Rightarrow k=0$. Tiếp tuyến là $y=3$.
Do không có tiếp tuyến nào của đồ thị vuông góc với tiếp tuyến $y=3$, nên yêu cầu bài toán tương đương với phương trình $2x^2-\left( 4+3m \right)x+9m-4=0\ \ \left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$, và tiếp tuyến tại chúng vuông góc với nhau.
Phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
$\begin{array}{l}\Leftrightarrow \Delta=\left( 4+3m \right)^2-8\left( 9m-4 \right)>0\\\Leftrightarrow 9m^2-48m+48>0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m<\frac{4}{3}\\m>4\end{array}\right.\end{array}$
Theo Viet, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=\frac{4+3m}{2}\\x_1.x_2=\frac{9m-4}{2}\end{array}\right.$
Ta có: $\begin{array}{l}f'\left( x_1 \right).f'\left( x_2 \right)=-1\Leftrightarrow \left( 3x_1^2-12x_1+9 \right).\left( 3x_2^2-12x_2+9 \right)=-1\\\Leftrightarrow \left( x_1x_2 \right)^2-4x_1x_2\left( x_1+x_2 \right)+3\left( x_1+x_2 \right)^2+10x_1x_2-12\left( x_1+x_2 \right)+9=\frac{-1}{9}\\\Leftrightarrow m=\frac{26}{27}\end{array}$
Vậy $M\left( \frac{26}{27};3 \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.