Bài tập nâng cao · Bài 75
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 75
Cho hàm số $y=\frac{x-1}{2\left( x+1 \right)}$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Gọi điểm $M\left( x_0;y_0 \right)$ với $x_0>-1$ là điểm thuộc $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M$ cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ và tam giác $OAB$ có trọng tâm $G$ nằm trên đường thẳng $d:4x+y=0$. Giá trị của $4x_0+2y_0$ bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
Có $y=\frac{x-1}{2\left( x+1 \right)}$ $\Rightarrow y'=\frac{1}{\left( x+1 \right)^2}>0,\ \forall x\neq -1$.
Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( x_0;y_0 \right)$ có phương trình: $y=\frac{1}{\left( x_0+1 \right)^2}\left( x-x_0 \right)+\frac{x_0-1}{2\left( x_0+1 \right)}$ $\left( d \right)$.
Ta có: $A\left( -\frac{x_0^2}{2}+x_0+\frac{1}{2};0 \right)$, $B\left( 0;\frac{x_0^2-2x_0-1}{2\left( x_0+1 \right)^2} \right)$
suy ra $G\left( -\frac{x_0^2}{6}+\frac{x_0}{3}+\frac{1}{6};\frac{x_0^2-2x_0-1}{6\left( x_0+1 \right)^2} \right)$.
Vì $G\in d:4x+y=0$ ta có: $4.\left( -\frac{x_0^2}{6}+\frac{x_0}{3}+\frac{1}{6} \right)+\frac{x_0^2-2x_0-1}{6\left( x_0+1 \right)^2}=0$
$\Leftrightarrow \left( x_0^2-2x_0-1 \right)\left( -2+\frac{1}{2\left( x_0+1 \right)^2} \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_0^2-2x_0-1=0\ \ \left( 1 \right)\\\frac{1}{2\left( x_0+1 \right)^2}=2\ \ \left( 2 \right)\end{array}\right.$.
$\left( 1 \right):x_0^2-2x_0-1=0$ không xảy ra vì lúc này $A\equiv B\equiv O$.
$\left( 2 \right):\frac{1}{2\left( x_0+1 \right)^2}=2$ $\Leftrightarrow \left( x_0+1 \right)^2=\frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_0=-\frac{1}{2}>-1\ \ \left( \text{N} \right)\\x_0=-\frac{3}{2}<-1\ \ \left( \text{L} \right)\end{array}\right.$.
Với $x_0=-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow y_0=-\frac{3}{2}$ $\Rightarrow 4x_0+2y_0=-5$.
Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( x_0;y_0 \right)$ có phương trình: $y=\frac{1}{\left( x_0+1 \right)^2}\left( x-x_0 \right)+\frac{x_0-1}{2\left( x_0+1 \right)}$ $\left( d \right)$.
Ta có: $A\left( -\frac{x_0^2}{2}+x_0+\frac{1}{2};0 \right)$, $B\left( 0;\frac{x_0^2-2x_0-1}{2\left( x_0+1 \right)^2} \right)$
suy ra $G\left( -\frac{x_0^2}{6}+\frac{x_0}{3}+\frac{1}{6};\frac{x_0^2-2x_0-1}{6\left( x_0+1 \right)^2} \right)$.
Vì $G\in d:4x+y=0$ ta có: $4.\left( -\frac{x_0^2}{6}+\frac{x_0}{3}+\frac{1}{6} \right)+\frac{x_0^2-2x_0-1}{6\left( x_0+1 \right)^2}=0$
$\Leftrightarrow \left( x_0^2-2x_0-1 \right)\left( -2+\frac{1}{2\left( x_0+1 \right)^2} \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_0^2-2x_0-1=0\ \ \left( 1 \right)\\\frac{1}{2\left( x_0+1 \right)^2}=2\ \ \left( 2 \right)\end{array}\right.$.
$\left( 1 \right):x_0^2-2x_0-1=0$ không xảy ra vì lúc này $A\equiv B\equiv O$.
$\left( 2 \right):\frac{1}{2\left( x_0+1 \right)^2}=2$ $\Leftrightarrow \left( x_0+1 \right)^2=\frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_0=-\frac{1}{2}>-1\ \ \left( \text{N} \right)\\x_0=-\frac{3}{2}<-1\ \ \left( \text{L} \right)\end{array}\right.$.
Với $x_0=-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow y_0=-\frac{3}{2}$ $\Rightarrow 4x_0+2y_0=-5$.