Bài tập nâng cao · Bài 76
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 76
Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{2x+3}\left( H \right)$ cắt trục tung và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông cân. Tính diện tích tam giác vuông cân đó.
Xem lời giải
Lời giải
Tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng $\pm 1$.
Gọi tọa độ tiếp điểm là $(x_0,y_0)$ ta có : $\frac{-1}{(2x_0+3)^2}=\pm 1\Leftrightarrow x_0=-2$. hoặc $x_0=-1$.
Với $x_0=-1,y_0=1$, phương trình tiếp tuyến là: $y=-x$ loại vì không cắt hai trục tạo thành tam giác.
Với $x_0=-2,y_0=0$, phương trình tiếp tuyến là: $y=-x-2$.
Khi đó tiếp tuyến $y=-x-2$ cắt hai trục $Ox,\ Oy$ lần lượt tại $A\left( -2;\ 0 \right);\ B\left( 0;\ -2 \right)$ tạo thành tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ nên $S_{OAB}=\frac{1}{2}.OA.OB=\frac{1}{2}.2.2=2$.
Gọi tọa độ tiếp điểm là $(x_0,y_0)$ ta có : $\frac{-1}{(2x_0+3)^2}=\pm 1\Leftrightarrow x_0=-2$. hoặc $x_0=-1$.
Với $x_0=-1,y_0=1$, phương trình tiếp tuyến là: $y=-x$ loại vì không cắt hai trục tạo thành tam giác.
Với $x_0=-2,y_0=0$, phương trình tiếp tuyến là: $y=-x-2$.
Khi đó tiếp tuyến $y=-x-2$ cắt hai trục $Ox,\ Oy$ lần lượt tại $A\left( -2;\ 0 \right);\ B\left( 0;\ -2 \right)$ tạo thành tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ nên $S_{OAB}=\frac{1}{2}.OA.OB=\frac{1}{2}.2.2=2$.