Bài tập nâng cao · Bài 53
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 53
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 2x+1,\,khi\,x>3 \\ ax-3a+7,\,khi\,x\leq 3 \\ \end{array} \end{array} \right. $ ($ a $ là tham số thực). Nếu $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { { \rm{ e } } ^ { x } +1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x }={ \rm{ e } } ^ { 2 } $ thì $ a $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Xét: $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { e ^ { x } +1 } \right )e ^ { x } { \rm{ d } }x } $.
Đặt $ t={ \rm{ e } } ^ { x } +1\Rightarrow { \rm{ d } }t={ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x $.
Đổi cận: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=0\Rightarrow t=2 \\ x=1\Rightarrow t={ \rm{ e } }+1 \\ \end{array} \end{array} \right. $.
Khi đó: $ I=\int _{ 2 }^{ { \rm{ e } }+1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\int _{ 2 }^{ 3 } { \left ( { at-3a+7 } \right ){ \rm{ d } }t }+\int _{ 3 }^{ { \rm{ e } }+1 } { \left ( { 2t+1 } \right ){ \rm{ d } }t }={ \rm{ e } } ^ { 2 } +3{ \rm{ e } }-3-\frac { a } { 2 }={ \rm{ e } } ^ { 2 } $
$ \Leftrightarrow a=6{ \rm{ e } }-6 $.
Đặt $ t={ \rm{ e } } ^ { x } +1\Rightarrow { \rm{ d } }t={ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x $.
Đổi cận: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=0\Rightarrow t=2 \\ x=1\Rightarrow t={ \rm{ e } }+1 \\ \end{array} \end{array} \right. $.
Khi đó: $ I=\int _{ 2 }^{ { \rm{ e } }+1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\int _{ 2 }^{ 3 } { \left ( { at-3a+7 } \right ){ \rm{ d } }t }+\int _{ 3 }^{ { \rm{ e } }+1 } { \left ( { 2t+1 } \right ){ \rm{ d } }t }={ \rm{ e } } ^ { 2 } +3{ \rm{ e } }-3-\frac { a } { 2 }={ \rm{ e } } ^ { 2 } $
$ \Leftrightarrow a=6{ \rm{ e } }-6 $.