Bài tập nâng cao · Bài 54
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 54
Biết rằng $ \int _{ 0 }^{ ln4 } { \frac { { \rm{ d } }x } { 1+\sqrt[] { e ^ { x } } }=a+bln2+cln3 } $ với $ a,\,\,b,\,\,c\,\in \,\mathbb{Z} $. Tính $ T=a+b+c $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ 1+\sqrt[] { e ^ { x } }=t $, $ t>1 $ suy ra $ \sqrt[] { e ^ { x } }=t-1 $.
Vi phân hai vế: $ \frac { e ^ { x } } { 2\sqrt[] { e ^ { x } } }dx=dt $ suy ra $ \frac { \sqrt[] { e ^ { x } } } { 2 }dx=dt\,\Leftrightarrow \,dx=\frac { 2dt } { t-1 } $.
Đổi cận:
$ x $ $ 0 $ $ ln4 $
$ t $ $ 2 $ $ 3 $
Ta có:
$ \int _{ 0 }^{ ln4 } { \frac { { \rm{ d } }x } { 1+\sqrt[] { e ^ { x } } }=\int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { 2 } { t\left ( { t-1 } \right ) } } }dt=\int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { 2 } { \left ( { t-1 } \right ) }dt }-\int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { 2 } { t } }dt=2ln\left | { \left | { t-1 } \right | } \right ._{ 2 } ^{ 3 }-2ln\left | { \left | { t } \right | } \right ._{ 2 } ^{ 3 } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2ln2-2ln1-2ln3+2ln2 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=4ln2-2ln3 $
Vậy $ a=0\,;\,b=4\,;\,c=-2\,\Rightarrow \,T=a+b+c=2 $.
Vi phân hai vế: $ \frac { e ^ { x } } { 2\sqrt[] { e ^ { x } } }dx=dt $ suy ra $ \frac { \sqrt[] { e ^ { x } } } { 2 }dx=dt\,\Leftrightarrow \,dx=\frac { 2dt } { t-1 } $.
Đổi cận:
$ x $ $ 0 $ $ ln4 $
$ t $ $ 2 $ $ 3 $
Ta có:
$ \int _{ 0 }^{ ln4 } { \frac { { \rm{ d } }x } { 1+\sqrt[] { e ^ { x } } }=\int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { 2 } { t\left ( { t-1 } \right ) } } }dt=\int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { 2 } { \left ( { t-1 } \right ) }dt }-\int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { 2 } { t } }dt=2ln\left | { \left | { t-1 } \right | } \right ._{ 2 } ^{ 3 }-2ln\left | { \left | { t } \right | } \right ._{ 2 } ^{ 3 } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2ln2-2ln1-2ln3+2ln2 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=4ln2-2ln3 $
Vậy $ a=0\,;\,b=4\,;\,c=-2\,\Rightarrow \,T=a+b+c=2 $.