Bài tập nâng cao · Bài 55
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 55
Cho $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { x+lnx } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=\frac { a } { b }ln2-\frac { 1 } { c } $ với $ a $, $ b $, $ c $ là các số nguyên dương và $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $ S=\frac { a+b } { c } $.
Xem lời giải
Lời giải
Xét $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { x+lnx } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { x } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x+ }\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { lnx } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $.
Tính $ I_{ 1 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { x } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { \left ( { x+1 } \right )-1 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }\left ( { x+1 } \right ) } }=\left | { \left ( { ln\left | { x+1 } \right |+\frac { 1 } { x+1 } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=ln3-ln2-\frac { 1 } { 6 } $.
Tính $ I_{ 2 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { lnx } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u=lnx\Rightarrow { \rm{ d } }u=\frac { 1 } { x }{ \rm{ d } }x \\ { \rm{ d } }v=\frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x,v=\frac { -1 } { x+1 } \\ \end{array} \end{array} \right. $, khi đó
$ I_{ 2 } =\left | { \left ( { \frac { -1 } { x+1 }lnx } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 1 } { x\left ( { x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x }=\frac { -1 } { 3 }ln2+\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 1 } { x }-\frac { 1 } { x+1 } } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { -1 } { 3 }ln2+\left | { \left ( { ln\left | { x } \right |-ln\left | { x+1 } \right | } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 5 } { 3 }ln2-ln3 $.
Suy ra: $ I=I_{ 1 } +I_{ 2 } =ln3-ln2-\frac { 1 } { 6 }+\frac { 5 } { 3 }ln2-ln3=\frac { 2 } { 3 }ln2-\frac { 1 } { 6 } $.
Vậy: $ a=2 $, $ b=3 $, $ c=6 $$ \Rightarrow S=\frac { a+b } { c }=\frac { 5 } { 6 } $.
Tính $ I_{ 1 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { x } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { \left ( { x+1 } \right )-1 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }\left ( { x+1 } \right ) } }=\left | { \left ( { ln\left | { x+1 } \right |+\frac { 1 } { x+1 } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=ln3-ln2-\frac { 1 } { 6 } $.
Tính $ I_{ 2 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { lnx } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u=lnx\Rightarrow { \rm{ d } }u=\frac { 1 } { x }{ \rm{ d } }x \\ { \rm{ d } }v=\frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x,v=\frac { -1 } { x+1 } \\ \end{array} \end{array} \right. $, khi đó
$ I_{ 2 } =\left | { \left ( { \frac { -1 } { x+1 }lnx } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 1 } { x\left ( { x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x }=\frac { -1 } { 3 }ln2+\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 1 } { x }-\frac { 1 } { x+1 } } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { -1 } { 3 }ln2+\left | { \left ( { ln\left | { x } \right |-ln\left | { x+1 } \right | } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 5 } { 3 }ln2-ln3 $.
Suy ra: $ I=I_{ 1 } +I_{ 2 } =ln3-ln2-\frac { 1 } { 6 }+\frac { 5 } { 3 }ln2-ln3=\frac { 2 } { 3 }ln2-\frac { 1 } { 6 } $.
Vậy: $ a=2 $, $ b=3 $, $ c=6 $$ \Rightarrow S=\frac { a+b } { c }=\frac { 5 } { 6 } $.