Bài tập nâng cao · Bài 56
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 56
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} x ^ { 2 } -1\,\left ( { x\geq 0 } \right ) \\ 2cosx-3\,\,\left ( { x < 0 } \right ) \end{array} \right. $. Tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { \left | { 2cosx-1 } \right | } \right )sinx }{ \rm{ d } }x $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ 2cosx-1=t\Rightarrow dt=-2sinxdx $
$ x $ 0 $ \frac { \pi } { 2 } $
$ t $ 1 -1
Đổi cận:
Ta có $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { \left | { 2cosx-1 } \right | } \right )sinx }{ \rm{ d } }x=-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ -1 } { f\left ( { \left | { t } \right | } \right )dt }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { \left | { t } \right | } \right )dt=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )dt } }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -1 } \right )dx=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-x } \right ) } \right . }_{ 0 } ^{ 1 }=-\frac { 2 } { 3 } $
(Ở đây $ y=f\left ( { \left | { t } \right | } \right ) $ là hàm số chẵn trên $ \left[ -1;\,1 \right] $ nên ta có $ \int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { \left | { t } \right | } \right )dt=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )dt } } $)
$ x $ 0 $ \frac { \pi } { 2 } $
$ t $ 1 -1
Đổi cận:
Ta có $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { \left | { 2cosx-1 } \right | } \right )sinx }{ \rm{ d } }x=-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ -1 } { f\left ( { \left | { t } \right | } \right )dt }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { \left | { t } \right | } \right )dt=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )dt } }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -1 } \right )dx=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-x } \right ) } \right . }_{ 0 } ^{ 1 }=-\frac { 2 } { 3 } $
(Ở đây $ y=f\left ( { \left | { t } \right | } \right ) $ là hàm số chẵn trên $ \left[ -1;\,1 \right] $ nên ta có $ \int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { \left | { t } \right | } \right )dt=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )dt } } $)