Bài tập nâng cao · Bài 57
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 57
Cho biết $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } ln\frac { 4-x ^ { 2 } } { 4+x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=a+bln\frac { p } { q } $ với $ a $, $ b $ là các số hữu tỷ, $ p $, $ q $ là các số nguyên tố và $ p < q $. Giá trị của biểu thức $ S=ab+pq $ bằng?
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=ln\frac { 4-x ^ { 2 } } { 4+x ^ { 2 } } \\ { \rm{ d } }v=x ^ { 3 } { \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=-\frac { 16x } { \left ( { 4+x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } }.\frac { 4+x ^ { 2 } } { 4-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=-\frac { 16x } { 16-x ^ { 4 } }{ \rm{ d } }x \\ v=\frac { x ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 16 } { 4 } \end{array} \right. $
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } ln\frac { 4-x ^ { 2 } } { 4+x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 4 } -16 } { 4 }ln\frac { 4-x ^ { 2 } } { 4+x ^ { 2 } } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+4\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x\left ( { x ^ { 4 } -16 } \right ) } { 16-x ^ { 4 } } }=-\frac { 15 } { 4 }ln\frac { 3 } { 5 }-\left | { 2x ^ { 2 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=-\frac { 15 } { 4 }ln\frac { 3 } { 5 }-2 $
Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} a=-2 \\ b=-\frac { 15 } { 4 } \\ p=3 \\ q=5 \end{array} \right.\Rightarrow S=ab+pq=\frac { 15 } { 2 }+15=\frac { 45 } { 2 }. $
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } ln\frac { 4-x ^ { 2 } } { 4+x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 4 } -16 } { 4 }ln\frac { 4-x ^ { 2 } } { 4+x ^ { 2 } } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+4\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x\left ( { x ^ { 4 } -16 } \right ) } { 16-x ^ { 4 } } }=-\frac { 15 } { 4 }ln\frac { 3 } { 5 }-\left | { 2x ^ { 2 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=-\frac { 15 } { 4 }ln\frac { 3 } { 5 }-2 $
Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} a=-2 \\ b=-\frac { 15 } { 4 } \\ p=3 \\ q=5 \end{array} \right.\Rightarrow S=ab+pq=\frac { 15 } { 2 }+15=\frac { 45 } { 2 }. $