Bài tập nâng cao · Bài 51
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 51
Biết $ \int _{ 1 }^{ e } { \frac { lnx } { \left ( { 1+x } \right ) ^ { 2 } }\,{ \rm{ d } }x } =\frac { a } { { \rm{ e } }{ \rm{ } }{ \rm{ + } }{ \rm{ 1 } } }\,+bln\frac { 2 } { { \rm{ e } }{ \rm{ } }{ \rm{ + } }{ \rm{ 1 } } }+c $ với $ a $, $ b $, $ c\in \,\mathbb{Z} $. Tính $ a+\,b+\,c $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=lnx \\ { \rm{ d } }v=\frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } \, }\,{ \rm{ d } }x \end{array} \right. $$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\frac { 1 } { x }{ \rm{ d } }x \\ v=\frac { -1 } { x+1 }{ \rm{ d } }x \end{array} \right. $.
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ { \rm{ e } } } { \frac { lnx } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }\,{ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { -lnx } { x+1 } } \right ._{ 1 } ^{ { \rm{ e } } }+\int _{ 1 }^{ { \rm{ e } } } { \frac { 1 } { x\left ( { x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { -lnx } { x+1 } } \right ._{ 1 } ^{ { \rm{ e } } }+\left | { ln\frac { x } { x+1 } } \right ._{ 1 } ^{ { \rm{ e } } } =-\frac { 1 } { { \rm{ e } }\,+1 }+ln\frac { { \rm{ e } } } { { \rm{ e } }+1 }-ln\frac { 1 } { 2 } =\frac { -1 } { { \rm{ e } }\,+1 }+ln{ \rm{ e } }\,-ln\left ( { { \rm{ e } }{ \rm{ + } }{ \rm{ 1 } } } \right )+ln2 =\frac { -1 } { { \rm{ e } }+1 }+ln\frac { 2 } { { \rm{ e } }+1 }+1 $.
$ \Rightarrow a=-1 $, $ b=1 $, $ c=1 $$ \Rightarrow a+b+c=1 $.
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ { \rm{ e } } } { \frac { lnx } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }\,{ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { -lnx } { x+1 } } \right ._{ 1 } ^{ { \rm{ e } } }+\int _{ 1 }^{ { \rm{ e } } } { \frac { 1 } { x\left ( { x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { -lnx } { x+1 } } \right ._{ 1 } ^{ { \rm{ e } } }+\left | { ln\frac { x } { x+1 } } \right ._{ 1 } ^{ { \rm{ e } } } =-\frac { 1 } { { \rm{ e } }\,+1 }+ln\frac { { \rm{ e } } } { { \rm{ e } }+1 }-ln\frac { 1 } { 2 } =\frac { -1 } { { \rm{ e } }\,+1 }+ln{ \rm{ e } }\,-ln\left ( { { \rm{ e } }{ \rm{ + } }{ \rm{ 1 } } } \right )+ln2 =\frac { -1 } { { \rm{ e } }+1 }+ln\frac { 2 } { { \rm{ e } }+1 }+1 $.
$ \Rightarrow a=-1 $, $ b=1 $, $ c=1 $$ \Rightarrow a+b+c=1 $.