Bài tập nâng cao · Bài 50
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 50
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \left ( { 0\,;\,+\infty } \right ) $ và thỏa mãn $ f\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )+\frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 4x\sqrt[] { x } }=\frac { lnx } { x } $. Biết $ \int _{ 1 }^{ 17 } { f\left ( { x } \right ) }dx=aln4-b $ với $ a,\,b\in \mathbb{R} $. Giá trị của $ a+2b $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ f\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )+\frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 4x\sqrt[] { x } }=\frac { lnx } { x } $$ \Leftrightarrow 2xf\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )+\frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 2\sqrt[] { x } }=2lnx $
$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 4 } { 2xf\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) }dx+\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 2\sqrt[] { x } } }dx=2\int _{ 1 }^{ 4 } { lnx }dx $$ \Leftrightarrow \int _{ 2 }^{ 17 } { f\left ( { u } \right ) }du+\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { v } \right ) }dv=2\left | { \left ( { xlnx-x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 4 } $$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 17 } { f\left ( { x } \right ) }dx=8ln4-6 $.
Vậy $ a+2b=8+2.6=20 $.
$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 4 } { 2xf\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) }dx+\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 2\sqrt[] { x } } }dx=2\int _{ 1 }^{ 4 } { lnx }dx $$ \Leftrightarrow \int _{ 2 }^{ 17 } { f\left ( { u } \right ) }du+\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { v } \right ) }dv=2\left | { \left ( { xlnx-x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 4 } $$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 17 } { f\left ( { x } \right ) }dx=8ln4-6 $.
Vậy $ a+2b=8+2.6=20 $.