Bài tập nâng cao · Bài 49
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 49
Cho hàm số $ y=f(x)=\left \{ \begin{array}{l} x ^ { 2 } \,\,\,\,\,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\,\,x\geq 2 \\ 2+x\,\,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }{ \rm{ } }x < 2 \end{array} \right. $. Tính tích phân $ \int _{ 0 }^{ 5 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { 3x+1 } } \right ) } { \sqrt[] { 3x+1 } }{ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Dễ thấy, hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ xác định và liên tục trên $ \mathbb{R} $.
Ta có: $ \sqrt[] { 3x+1 }=2\Leftrightarrow 3x+1=4\Leftrightarrow x=1 $.
Nhận xét: $ 3x+1>0\,\,∀x\in \left ( { 0;5 } \right ) $, khi đó $ I=\int _{ 0 }^{ 5 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { 3x+1 } } \right ) } { \sqrt[] { 3x+1 } }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2+\sqrt[] { 3x+1 } } { \sqrt[] { 3x+1 } }{ \rm{ d } }x }+\int _{ 1 }^{ 5 } { \sqrt[] { 3x+1 }{ \rm{ d } }x } $.
Xét $ I_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2+\sqrt[] { 3x+1 } } { \sqrt[] { 3x+1 } } }{ \rm{ d } }x $.
Đặt $ t=\sqrt[] { 3x+1 }\Rightarrow 2t{ \rm{ d } }t=3{ \rm{ d } }x $.
Khi $ x=0 $ thì $ t=1 $, khi $ x=1 $ thì $ t=2 $.
Khi đó, $ I_{ 1 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 2+t } { t }.\frac { 2 } { 3 }t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 2 } { 3 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { 2+t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 2 } { 3 }\left | { \left ( { 2t+\frac { t ^ { 2 } } { 2 } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 2 } { 3 }\left ( { 2.2-2.1+\frac { 2 ^ { 2 } } { 2 }-\frac { 1 } { 2 } } \right )=\frac { 7 } { 3 } $.
Xét $ I_{ 2 } =\int _{ 1 }^{ 5 } { \sqrt[] { 3x+1 }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 5 } { \left ( { 3x+1 } \right ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { { \rm{ d } }\left ( { 3x+1 } \right ) } { 3 } }=\frac { 1 } { 3 }\left | { \left[ \frac { \left ( { 3x+1 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { \frac { 3 } { 2 } } \right] } \right ._{ 1 } ^{ 5 }=\frac { 2 } { 9 }\left | { \left[ \left ( { 3x+1 } \right )\sqrt[] { 3x+1 } \right] } \right ._{ 1 } ^{ 5 } =\frac { 2 } { 9 }\left[ \left ( { 3.5+1 } \right )\sqrt[] { 3.5+1 }-\left ( { 3.1+1 } \right )\sqrt[] { 3.1+1 } \right]=\frac { 112 } { 9 } $.
Vậy $ I=I_{ 1 } +I_{ 2 } =\frac { 7 } { 3 }+\frac { 112 } { 9 }=\frac { 133 } { 9 } $.
Ta có: $ \sqrt[] { 3x+1 }=2\Leftrightarrow 3x+1=4\Leftrightarrow x=1 $.
Nhận xét: $ 3x+1>0\,\,∀x\in \left ( { 0;5 } \right ) $, khi đó $ I=\int _{ 0 }^{ 5 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { 3x+1 } } \right ) } { \sqrt[] { 3x+1 } }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2+\sqrt[] { 3x+1 } } { \sqrt[] { 3x+1 } }{ \rm{ d } }x }+\int _{ 1 }^{ 5 } { \sqrt[] { 3x+1 }{ \rm{ d } }x } $.
Xét $ I_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2+\sqrt[] { 3x+1 } } { \sqrt[] { 3x+1 } } }{ \rm{ d } }x $.
Đặt $ t=\sqrt[] { 3x+1 }\Rightarrow 2t{ \rm{ d } }t=3{ \rm{ d } }x $.
Khi $ x=0 $ thì $ t=1 $, khi $ x=1 $ thì $ t=2 $.
Khi đó, $ I_{ 1 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 2+t } { t }.\frac { 2 } { 3 }t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 2 } { 3 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { 2+t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 2 } { 3 }\left | { \left ( { 2t+\frac { t ^ { 2 } } { 2 } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 2 } { 3 }\left ( { 2.2-2.1+\frac { 2 ^ { 2 } } { 2 }-\frac { 1 } { 2 } } \right )=\frac { 7 } { 3 } $.
Xét $ I_{ 2 } =\int _{ 1 }^{ 5 } { \sqrt[] { 3x+1 }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 5 } { \left ( { 3x+1 } \right ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { { \rm{ d } }\left ( { 3x+1 } \right ) } { 3 } }=\frac { 1 } { 3 }\left | { \left[ \frac { \left ( { 3x+1 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { \frac { 3 } { 2 } } \right] } \right ._{ 1 } ^{ 5 }=\frac { 2 } { 9 }\left | { \left[ \left ( { 3x+1 } \right )\sqrt[] { 3x+1 } \right] } \right ._{ 1 } ^{ 5 } =\frac { 2 } { 9 }\left[ \left ( { 3.5+1 } \right )\sqrt[] { 3.5+1 }-\left ( { 3.1+1 } \right )\sqrt[] { 3.1+1 } \right]=\frac { 112 } { 9 } $.
Vậy $ I=I_{ 1 } +I_{ 2 } =\frac { 7 } { 3 }+\frac { 112 } { 9 }=\frac { 133 } { 9 } $.