Bài tập nâng cao · Bài 46
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 46
Cho $ f\left ( { x } \right ) $; $ g\left ( { x } \right ) $ là hai hàm số liên tục trên $ \left[ 0\,;\,2 \right] $ thỏa mãn điều kiện $ \int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ f\left ( { x } \right )+g\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=10 $ và $ \int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ 3f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=6 $. Tính $ \int _{ 2019 }^{ 2021 } { f\left ( { 2021-x } \right ){ \rm{ d } }x }+3\int _{ 0 }^{ 1 } { g\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x } $:
Xem lời giải
Lời giải
Theo gt: $ \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ f\left ( { x } \right )+g\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=10 \\ \int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ 3f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=6 \end{array} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 2 } { g\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=10 \\ 3\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }-\int _{ 0 }^{ 2 } { g\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=6 \end{array} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=4 \\ \int _{ 0 }^{ 2 } { g\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=6 \end{array} \right. $
Xét $ I_{ 1 } =\int _{ 2019 }^{ 2021 } { f\left ( { 2021-x } \right ){ \rm{ d } }x } $
Đặt $ 2021-x=t \Rightarrow { \rm{ d } }x=-{ \rm{ d } }t $
Với $ x=2019 \Rightarrow t=2 $
$ x=2021 \Rightarrow t=0 \Rightarrow I_{ 1 } =-\int _{ 2 }^{ 0 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=4 $
Xét $ I_{ 2 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { g\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x } $
Đặt $ 2x=t \Rightarrow { \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ d } }t $
Với $ x=0 \Rightarrow t=0 $
$ x=1 \Rightarrow t=2 \Rightarrow I_{ 2 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { g\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 2 } { g\left ( { t } \right ).\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 2 } { g\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 2 } { g\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=3 $
Vậy $ \int _{ 2019 }^{ 2021 } { f\left ( { 2021-x } \right ){ \rm{ d } }x }+3\int _{ 0 }^{ 1 } { g\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x }=I_{ 1 } +3I_{ 2 } =13 $.
Xét $ I_{ 1 } =\int _{ 2019 }^{ 2021 } { f\left ( { 2021-x } \right ){ \rm{ d } }x } $
Đặt $ 2021-x=t \Rightarrow { \rm{ d } }x=-{ \rm{ d } }t $
Với $ x=2019 \Rightarrow t=2 $
$ x=2021 \Rightarrow t=0 \Rightarrow I_{ 1 } =-\int _{ 2 }^{ 0 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=4 $
Xét $ I_{ 2 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { g\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x } $
Đặt $ 2x=t \Rightarrow { \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ d } }t $
Với $ x=0 \Rightarrow t=0 $
$ x=1 \Rightarrow t=2 \Rightarrow I_{ 2 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { g\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 2 } { g\left ( { t } \right ).\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 2 } { g\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 2 } { g\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=3 $
Vậy $ \int _{ 2019 }^{ 2021 } { f\left ( { 2021-x } \right ){ \rm{ d } }x }+3\int _{ 0 }^{ 1 } { g\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x }=I_{ 1 } +3I_{ 2 } =13 $.