Bài tập nâng cao · Bài 45
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 45
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn $ f\left ( { 3 } \right )=21 $, $ \int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=9 $. Tính tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { x.f'\left ( { 3x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { x.f'\left ( { 3x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 9 }\int _{ 0 }^{ 1 } { 3x.f'\left ( { 3x } \right ){ \rm{ d } }\left ( { 3x } \right ) }=\frac { 1 } { 9 }\int _{ 0 }^{ 3 } { x.f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ { \rm{ d } }v=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u={ \rm{ d } }x \\ v=f\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $.
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 3 } { x.f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { x.f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 3 }-\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=3f\left ( { 3 } \right )-9=3.21-9=54 $.
Vậy $ I=6 $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ { \rm{ d } }v=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u={ \rm{ d } }x \\ v=f\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $.
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 3 } { x.f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { x.f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 3 }-\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=3f\left ( { 3 } \right )-9=3.21-9=54 $.
Vậy $ I=6 $.