Bài tập nâng cao · Bài 52
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 52
Giả sử $ \int _{ 3 }^{ 5 } { x ^ { 2 } ln\left ( { x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { aln3+bln2 } { 3 }-\frac { c } { 9 } $ với $ a,b,c\in N ^ { * } $. Giá trị của biểu thức $ b+c-a $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
$ I=\int _{ 3 }^{ 5 } { x ^ { 2 } ln\left ( { x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=ln\left ( { x+1 } \right ) \\ { \rm{ d } }v=x ^ { 2 } { \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\frac { 1 } { x+1 }{ \rm{ d } }x \\ v=\frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } \end{array} \right. $, suy ra
$ I=\int _{ 3 }^{ 5 } { x ^ { 2 } ln\left ( { x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\left | { \frac { x ^ { 3 } ln\left ( { x+1 } \right ) } { 3 } } \right ._{ 3 } ^{ 5 }-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 3 }^{ 5 } { \frac { x ^ { 3 } } { x+1 } }{ \rm{ d } }x =\frac { 125ln6-27ln4 } { 3 }-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 3 }^{ 5 } { \left ( { x ^ { 2 } -x+1-\frac { 1 } { x+1 } } \right ) }{ \rm{ d } }x =\frac { 125ln6-27ln4 } { 3 }-\frac { 1 } { 3 }\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-\frac { x ^ { 2 } } { 2 }+x-ln\left | { x+1 } \right | } \right ) } \right ._{ 3 } ^{ 5 } =\frac { 126ln6-28ln4 } { 3 }-\frac { 80 } { 9 } =\frac { 126ln3+70ln2 } { 3 }-\frac { 80 } { 9 }=\frac { aln3+bln2 } { 3 }-\frac { c } { 9 }\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=126 \\ b=70 \\ c=80 \end{array} \right.\Rightarrow b+c-a=24 $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=ln\left ( { x+1 } \right ) \\ { \rm{ d } }v=x ^ { 2 } { \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\frac { 1 } { x+1 }{ \rm{ d } }x \\ v=\frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } \end{array} \right. $, suy ra
$ I=\int _{ 3 }^{ 5 } { x ^ { 2 } ln\left ( { x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\left | { \frac { x ^ { 3 } ln\left ( { x+1 } \right ) } { 3 } } \right ._{ 3 } ^{ 5 }-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 3 }^{ 5 } { \frac { x ^ { 3 } } { x+1 } }{ \rm{ d } }x =\frac { 125ln6-27ln4 } { 3 }-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 3 }^{ 5 } { \left ( { x ^ { 2 } -x+1-\frac { 1 } { x+1 } } \right ) }{ \rm{ d } }x =\frac { 125ln6-27ln4 } { 3 }-\frac { 1 } { 3 }\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-\frac { x ^ { 2 } } { 2 }+x-ln\left | { x+1 } \right | } \right ) } \right ._{ 3 } ^{ 5 } =\frac { 126ln6-28ln4 } { 3 }-\frac { 80 } { 9 } =\frac { 126ln3+70ln2 } { 3 }-\frac { 80 } { 9 }=\frac { aln3+bln2 } { 3 }-\frac { c } { 9 }\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=126 \\ b=70 \\ c=80 \end{array} \right.\Rightarrow b+c-a=24 $.