Bài tập nâng cao · Bài 42
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 42
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có $ f\left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right )=-2 $ và $ f'\left ( { x } \right )=\frac { 4cos2x } { sin ^ { 2 } 2x } $, $ ∀x\in \left ( { 0;\frac { \pi } { 2 } } \right ) $. Khi đó $ \int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int { \frac { 4cos2x } { sin ^ { 2 } 2x }{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ sin2x=t\Rightarrow 2cos2x{ \rm{ d } }x={ \rm{ d } }t $.
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=\int { \frac { 2{ \rm{ d } }t } { t ^ { 2 } } }=-\frac { 2 } { t }+C=-\frac { 2 } { sin2x }+C\xrightarrow {\mathrm{ f\left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right )=-2 }}C=0 $.
Như vậy $ f\left ( { x } \right )=-\frac { 2 } { sin2x }\Rightarrow \int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { -\frac { 2 } { sin2x }{ \rm{ d } }x }=I $.
Xét $ I=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \frac { -2 } { sin2x }{ \rm{ d } }x }=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \frac { -2sin2x } { sin ^ { 2 } 2x }{ \rm{ d } }x }=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \frac { -2sin2x } { 1-cos ^ { 2 } 2x }{ \rm{ d } }x }=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \frac { -2sin2x } { \left ( { 1-cos2x } \right )\left ( { 1+cos2x } \right ) }{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ cos2x=a\Rightarrow -2sin2x{ \rm{ d } }x={ \rm{ d } }a $. Đổi cận: $ \left \{ \begin{array}{l} x=\frac { \pi } { 3 }\Rightarrow a=-\frac { 1 } { 2 } \\ x=\frac { \pi } { 6 }\Rightarrow a=\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right. $.
Suy ra $ I=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ -\frac { 1 } { 2 } } { \frac { { \rm{ d } }a } { \left ( { 1-a } \right )\left ( { 1+a } \right ) }= }\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ -\frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { a+1 }-\frac { 1 } { a-1 } } \right ){ \rm{ d } }a }=\frac { 1 } { 2 }\left[ \int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ -\frac { 1 } { 2 } } { \frac { { \rm{ d } }\left ( { a+1 } \right ) } { a+1 }-\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ -\frac { 1 } { 2 } } { \frac { { \rm{ d } }\left ( { a-1 } \right ) } { a-1 } } } \right] $.
$ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { ln\left | { a+1 } \right |\left | { -\frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } } \right .-ln\left | { a-1 } \right |\left | { -\frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } } \right . } \right )=-ln3 $.
Đặt $ sin2x=t\Rightarrow 2cos2x{ \rm{ d } }x={ \rm{ d } }t $.
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=\int { \frac { 2{ \rm{ d } }t } { t ^ { 2 } } }=-\frac { 2 } { t }+C=-\frac { 2 } { sin2x }+C\xrightarrow {\mathrm{ f\left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right )=-2 }}C=0 $.
Như vậy $ f\left ( { x } \right )=-\frac { 2 } { sin2x }\Rightarrow \int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { -\frac { 2 } { sin2x }{ \rm{ d } }x }=I $.
Xét $ I=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \frac { -2 } { sin2x }{ \rm{ d } }x }=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \frac { -2sin2x } { sin ^ { 2 } 2x }{ \rm{ d } }x }=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \frac { -2sin2x } { 1-cos ^ { 2 } 2x }{ \rm{ d } }x }=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \frac { -2sin2x } { \left ( { 1-cos2x } \right )\left ( { 1+cos2x } \right ) }{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ cos2x=a\Rightarrow -2sin2x{ \rm{ d } }x={ \rm{ d } }a $. Đổi cận: $ \left \{ \begin{array}{l} x=\frac { \pi } { 3 }\Rightarrow a=-\frac { 1 } { 2 } \\ x=\frac { \pi } { 6 }\Rightarrow a=\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right. $.
Suy ra $ I=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ -\frac { 1 } { 2 } } { \frac { { \rm{ d } }a } { \left ( { 1-a } \right )\left ( { 1+a } \right ) }= }\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ -\frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { a+1 }-\frac { 1 } { a-1 } } \right ){ \rm{ d } }a }=\frac { 1 } { 2 }\left[ \int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ -\frac { 1 } { 2 } } { \frac { { \rm{ d } }\left ( { a+1 } \right ) } { a+1 }-\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ -\frac { 1 } { 2 } } { \frac { { \rm{ d } }\left ( { a-1 } \right ) } { a-1 } } } \right] $.
$ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { ln\left | { a+1 } \right |\left | { -\frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } } \right .-ln\left | { a-1 } \right |\left | { -\frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } } \right . } \right )=-ln3 $.