Bài tập nâng cao · Bài 41
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 41
Biết $ a,b,c $ là các số nguyên dương thỏa mãn $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { dx } { (x+1)\sqrt[] { x }+x\sqrt[] { x+1 } } }=\sqrt[] { a }-\sqrt[] { b }-c $. Tính giá trị biểu thức$ P=a+b+c $.
Xem lời giải
Lời giải
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 1 } { (x+1)\sqrt[] { x }+x\sqrt[] { x+1 } }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { { \rm{ d } }x } { \sqrt[] { x(x+1) }\left ( { \sqrt[] { x+1 }+\sqrt[] { x } } \right ) } }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { \sqrt[] { x }+\sqrt[] { x+1 } } { \sqrt[] { x(x+1) }\left ( { \sqrt[] { x }+\sqrt[] { x+1 } } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $
Đặt $ t=\sqrt[] { x+1 }+\sqrt[] { x }\Rightarrow { \rm{ d } }t=\left ( { \frac { 1 } { 2\sqrt[] { x+1 } }+\frac { 1 } { 2\sqrt[] { x } } } \right ){ \rm{ d } }x\Leftrightarrow 2{ \rm{ d } }t=\frac { \sqrt[] { x+1 }+\sqrt[] { x } } { \sqrt[] { x(x+1) } }{ \rm{ d } }x $
Khi đó $ I=\int _{ 1+\sqrt[] { 2 } }^{ \sqrt[] { 2 }+\sqrt[] { 3 } } { \frac { 2 } { t ^ { 2 } }{ \rm{ d } }t }=\left | { \left ( { \frac { -2 } { t } } \right ) } \right ._{ 1+\sqrt[] { 2 } } ^{ \sqrt[] { 2 }+\sqrt[] { 3 } }=-2\sqrt[] { 3 }+4\sqrt[] { 2 }-2=\sqrt[] { 32 }-\sqrt[] { 12 }-2 $
Do đó $ a=32,\ b=12,\ c=2\Rightarrow P=a+b+c=32+12+2=46. $
Đặt $ t=\sqrt[] { x+1 }+\sqrt[] { x }\Rightarrow { \rm{ d } }t=\left ( { \frac { 1 } { 2\sqrt[] { x+1 } }+\frac { 1 } { 2\sqrt[] { x } } } \right ){ \rm{ d } }x\Leftrightarrow 2{ \rm{ d } }t=\frac { \sqrt[] { x+1 }+\sqrt[] { x } } { \sqrt[] { x(x+1) } }{ \rm{ d } }x $
Khi đó $ I=\int _{ 1+\sqrt[] { 2 } }^{ \sqrt[] { 2 }+\sqrt[] { 3 } } { \frac { 2 } { t ^ { 2 } }{ \rm{ d } }t }=\left | { \left ( { \frac { -2 } { t } } \right ) } \right ._{ 1+\sqrt[] { 2 } } ^{ \sqrt[] { 2 }+\sqrt[] { 3 } }=-2\sqrt[] { 3 }+4\sqrt[] { 2 }-2=\sqrt[] { 32 }-\sqrt[] { 12 }-2 $
Do đó $ a=32,\ b=12,\ c=2\Rightarrow P=a+b+c=32+12+2=46. $