Bài tập nâng cao · Bài 40
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 40
Cho $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \left ( { x ^ { 2 } +x } \right )e ^ { x } } { x+e ^ { -x } } }dx=a.e+bln\left ( { e+c } \right ) $ với $ a,b,c\in \mathbb{Z} $. Tính $ P=a+2b-c $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \left ( { x ^ { 2 } +x } \right )e ^ { x } } { x+e ^ { -x } } }dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \left ( { x ^ { 2 } +x } \right )e ^ { x } } { x+\frac { 1 } { e ^ { x } } } }dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x.e ^ { x } \left ( { x+1 } \right )e ^ { x } . } { x.e ^ { x } +1 } }dx $
Đặt $ u=xe ^ { x } +1\Rightarrow du=\left ( { e ^ { x } +xe ^ { x } } \right )dx=\left ( { x+1 } \right )e ^ { x } dx $
Khi đó
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \left ( { x ^ { 2 } +x } \right )e ^ { x } } { x+e ^ { -x } } }dx=\int _{ 1 }^{ e+1 } { \frac { u-1 } { u }du }=\int _{ 1 }^{ e+1 } { \left ( { 1-\frac { 1 } { u } } \right )du }=\left ( { u-ln\left | { u } \right | } \right )\left | { _{ 1 } ^{ e+1 } } \right .=e-ln\left ( { e+1 } \right ) $
Suy ra $ a=1,b=-1,c=1\Rightarrow P=a+2b-c=1-2-1=-2 $
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \left ( { x ^ { 2 } +x } \right )e ^ { x } } { x+e ^ { -x } } }dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \left ( { x ^ { 2 } +x } \right )e ^ { x } } { x+\frac { 1 } { e ^ { x } } } }dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x.e ^ { x } \left ( { x+1 } \right )e ^ { x } . } { x.e ^ { x } +1 } }dx $
Đặt $ u=xe ^ { x } +1\Rightarrow du=\left ( { e ^ { x } +xe ^ { x } } \right )dx=\left ( { x+1 } \right )e ^ { x } dx $
Khi đó
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \left ( { x ^ { 2 } +x } \right )e ^ { x } } { x+e ^ { -x } } }dx=\int _{ 1 }^{ e+1 } { \frac { u-1 } { u }du }=\int _{ 1 }^{ e+1 } { \left ( { 1-\frac { 1 } { u } } \right )du }=\left ( { u-ln\left | { u } \right | } \right )\left | { _{ 1 } ^{ e+1 } } \right .=e-ln\left ( { e+1 } \right ) $
Suy ra $ a=1,b=-1,c=1\Rightarrow P=a+2b-c=1-2-1=-2 $