Bài tập nâng cao · Bài 39
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 39
Cho $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { cosx } { sin ^ { 2 } x-5sinx+6 } }\,dx=aln\frac { 4 } { c }+b $, với $ a,\,b\in \mathbb{N},\,\,c\in \mathbb{N} ^ { * } $. Tính tổng $ S=a+b+c $.
Xem lời giải
Lời giải
Xét tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { cosx } { sin ^ { 2 } x-5sinx+6 } }\,dx $.
Đặt $ t=sinx\Rightarrow dt=cosx.dx $.
Đổi cận:
Ta có: $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 1 } { t ^ { 2 } -5t+6 } }\,dt=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { 1 } { t-3 }-\frac { 1 } { t-2 } } \right ) }\,dt=\left | { ln\left | { \frac { t-3 } { t-2 } } \right | } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=ln\frac { 4 } { 3 } $.
Vậy $ a=1\,,\,\,b=0,\,\,c=3\Rightarrow S=a+b+c=4 $.
Đặt $ t=sinx\Rightarrow dt=cosx.dx $.
Đổi cận:
Ta có: $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 1 } { t ^ { 2 } -5t+6 } }\,dt=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { 1 } { t-3 }-\frac { 1 } { t-2 } } \right ) }\,dt=\left | { ln\left | { \frac { t-3 } { t-2 } } \right | } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=ln\frac { 4 } { 3 } $.
Vậy $ a=1\,,\,\,b=0,\,\,c=3\Rightarrow S=a+b+c=4 $.