Bài tập nâng cao · Bài 38
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 38
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ 1;4 \right] $ và thoả mãn $ f\left ( { x } \right )=\frac { f\left ( { 2\sqrt[] { x }-1 } \right ) } { \sqrt[] { x } }+\frac { lnx } { x } $. Tính
$ I=\int _{ 3 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } $?
$ I=\int _{ 3 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } $?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ I=\int _3^4 f(x)\,dx=\int _1^4 f(x)\,dx-\int _1^3 f(x)\,dx $.\nTheo giả thiết,\n$ I=\int _1^4\left[\frac { f(2\sqrt{x}-1) } { \sqrt{x} }+\frac { \ln x }x\right]dx-\int _1^3 f(x)\,dx $.\nĐặt $ t=2\sqrt{x}-1\Rightarrow dt=\frac { dx } { \sqrt{x} } $. Khi $ x=1 $ thì $ t=1 $; khi $ x=4 $ thì $ t=3 $.\nDo đó $ I=\int _1^3 f(t)\,dt+\frac12\left[(\ln x)^2\right]_1^4-\int _1^3 f(x)\,dx=\frac12(\ln4)^2=2\ln^2 2 $.