Bài tập nâng cao · Bài 37
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 37
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, $\int_0^4f(x)\,dx=3$ và $\int_2^6f(2x)\,dx=\frac52$. Tính $I=\int_0^3f(4x)\,dx$.
Xem lời giải
Lời giải
Xét tích phâm $ J=\int _{ 2 }^{ 6 } { f\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 5 } { 2 } $, đặt $ t=2x\Rightarrow { \rm{ d } }t=2{ \rm{ d } }x $, $ \left \{ \begin{array}{l} x=2\Rightarrow t=4 \\ x=6\Rightarrow t=12 \end{array} \right. $.
Suy ra: $ \frac { 5 } { 2 }=\int _{ 2 }^{ 6 } { f\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 4 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }\Rightarrow \int _{ 4 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=5 $ hay $ \int _{ 4 }^{ 12 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=5 $.
Xét tích phâm $ I=\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { 4x } \right ){ \rm{ d } }x } $, đặt $ t=4x\Rightarrow { \rm{ d } }t=4{ \rm{ d } }x $, $ \left \{ \begin{array}{l} x=0\Rightarrow t=0 \\ x=3\Rightarrow t=12 \end{array} \right. $.
Suy ra: $ I=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 4 }\left ( { \int _{ 0 }^{ 4 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }+\int _{ 4 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } } \right ) =\frac { 1 } { 4 }\left ( { 3+5 } \right )=2 $.
Suy ra: $ \frac { 5 } { 2 }=\int _{ 2 }^{ 6 } { f\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 4 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }\Rightarrow \int _{ 4 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=5 $ hay $ \int _{ 4 }^{ 12 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=5 $.
Xét tích phâm $ I=\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { 4x } \right ){ \rm{ d } }x } $, đặt $ t=4x\Rightarrow { \rm{ d } }t=4{ \rm{ d } }x $, $ \left \{ \begin{array}{l} x=0\Rightarrow t=0 \\ x=3\Rightarrow t=12 \end{array} \right. $.
Suy ra: $ I=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 4 }\left ( { \int _{ 0 }^{ 4 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }+\int _{ 4 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } } \right ) =\frac { 1 } { 4 }\left ( { 3+5 } \right )=2 $.