Bài tập nâng cao · Bài 43
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 43
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $. Biết $ f\left ( { 0 } \right )=4 $và $ f'\left ( { x } \right )=2sin ^ { 2 } x+3,∀x\in \mathbb{R} $, khi đó $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ f\left ( { x } \right )=\int { \left ( { 2sin ^ { 2 } x+3 } \right ){ \rm{ d } }x }=\int { \left ( { 4-cos2x } \right ){ \rm{ d } }x }=4x-\frac { 1 } { 2 }sin2x+C $.
Lại có $ f\left ( { 0 } \right )=4\Rightarrow C=4 $. Vậy $ f\left ( { x } \right )=4x-\frac { 1 } { 2 }sin2x+4 $
khi đó $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \left ( { 4x-\frac { 1 } { 2 }sin2x+4 } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { 2x ^ { 2 } +\frac { 1 } { 4 }cos2x+4x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } }=\frac { \pi ^ { 2 } } { 8 }+\pi -\frac { 1 } { 4 } $
Lại có $ f\left ( { 0 } \right )=4\Rightarrow C=4 $. Vậy $ f\left ( { x } \right )=4x-\frac { 1 } { 2 }sin2x+4 $
khi đó $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \left ( { 4x-\frac { 1 } { 2 }sin2x+4 } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { 2x ^ { 2 } +\frac { 1 } { 4 }cos2x+4x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } }=\frac { \pi ^ { 2 } } { 8 }+\pi -\frac { 1 } { 4 } $