Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp hai trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f(1)=f'(1)=1$ và $f(1-x)+x^2f''(x)=2x$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Tính $I=\int_0^1xf'(x)\,dx$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Đặt $u=f'(x)$, $dv=x\,dx$. Tích phân từng phần cho $I=\left[\frac{x^2}{2}f'(x)\right]_0^1-\frac12\int_0^1x^2f''(x)\,dx$. Từ giả thiết $x^2f''(x)=2x-f(1-x)$ và $f'(1)=1$, suy ra $I=\frac12-\frac12\int_0^1[2x-f(1-x)]\,dx=\frac12\int_0^1f(x)\,dx$. Mặt khác, tích phân từng phần trực tiếp cho $I=[xf(x)]_0^1-\int_0^1f(x)\,dx=1-\int_0^1f(x)\,dx$. Do đó $I=\frac12(1-I)$, nên $I=\frac13$.

Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 85