Bài tập nâng cao · Bài 86
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 86
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ xác định và có đạo hàm $ f'\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \left[ 1\,;\,3 \right] $,$ f\left ( { x } \right )\neq 0 $ với mọi $ x\in \left[ 1\,;3 \right] $, đồng thời $ f'\left ( { x } \right )\left[ 1+f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } =\left[ \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } \left ( { x-1 } \right ) \right] ^ { 2 } $ và $ f\left ( { 1 } \right )=-1 $. Biết rằng
$ \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=aln3+b\,\,\,\left ( { a\in \mathbb{Z},\,\,b\in \mathbb{Z} } \right ) $, tính tổng $ S=a+b ^ { 2 } $.
$ \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=aln3+b\,\,\,\left ( { a\in \mathbb{Z},\,\,b\in \mathbb{Z} } \right ) $, tính tổng $ S=a+b ^ { 2 } $.
Xem lời giải
Lời giải
Với $ x\in \left[ 1;\,\,3 \right] $ ta có: $ f'\left ( { x } \right )\left[ 1+f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } =\left[ \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } \left ( { x-1 } \right ) \right] ^ { 2 } \Leftrightarrow \frac { f'\left ( { x } \right )\left[ 1+f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } } { \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 4 } }=\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } $.
$ \,\,\,\Leftrightarrow \left ( { \frac { 1 } { \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 4 } }+\frac { 2 } { \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } }+\frac { 1 } { \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } } } \right )f'\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -2x+1 $
Suy ra: $ -\frac { 1 } { 3\left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } }-\frac { 1 } { \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }-\frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }=\frac { x ^ { 3 } } { 3 }-x ^ { 2 } +x+C $ (lấy nguyên hàm hai vế).
Ta lại có:$ f\left ( { 1 } \right )=-1\Rightarrow \frac { 1 } { 3 }-1+1=\frac { 1 } { 3 }-1+1+C\Rightarrow C=0 $.
Dẫn đến: $ -\frac { 1 } { 3 }\left ( { \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) } } \right ) ^ { 3 } -\left ( { \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) } } \right ) ^ { 2 } -\frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }=-\frac { 1 } { 3 }\left ( { -x } \right ) ^ { 3 } -\left ( { -x } \right ) ^ { 2 } -\left ( { -x } \right )\,\,\,\,\left ( { * } \right ) $.
Vì hàm số $ g\left ( { t } \right )=-\frac { 1 } { 3 }t ^ { 3 } -t ^ { 2 } -t $ nghịch biến trên $ \mathbb{R} $ nên $ \left ( { * } \right )\Rightarrow \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }=-x\Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { x } $.
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó$ \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { -\frac { 1 } { x } } \right ){ \rm{ d } }x=- }ln3\Rightarrow a=-1,\,\,b=0 $. Vậy $ S=a+b ^ { 2 } =-1 $.
$ \,\,\,\Leftrightarrow \left ( { \frac { 1 } { \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 4 } }+\frac { 2 } { \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } }+\frac { 1 } { \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } } } \right )f'\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -2x+1 $
Suy ra: $ -\frac { 1 } { 3\left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } }-\frac { 1 } { \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }-\frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }=\frac { x ^ { 3 } } { 3 }-x ^ { 2 } +x+C $ (lấy nguyên hàm hai vế).
Ta lại có:$ f\left ( { 1 } \right )=-1\Rightarrow \frac { 1 } { 3 }-1+1=\frac { 1 } { 3 }-1+1+C\Rightarrow C=0 $.
Dẫn đến: $ -\frac { 1 } { 3 }\left ( { \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) } } \right ) ^ { 3 } -\left ( { \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) } } \right ) ^ { 2 } -\frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }=-\frac { 1 } { 3 }\left ( { -x } \right ) ^ { 3 } -\left ( { -x } \right ) ^ { 2 } -\left ( { -x } \right )\,\,\,\,\left ( { * } \right ) $.
Vì hàm số $ g\left ( { t } \right )=-\frac { 1 } { 3 }t ^ { 3 } -t ^ { 2 } -t $ nghịch biến trên $ \mathbb{R} $ nên $ \left ( { * } \right )\Rightarrow \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }=-x\Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { x } $.
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó$ \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { -\frac { 1 } { x } } \right ){ \rm{ d } }x=- }ln3\Rightarrow a=-1,\,\,b=0 $. Vậy $ S=a+b ^ { 2 } =-1 $.