Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ là hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên.
Biết $ \int _{ 1 }^{ 4 } { x.f''\left ( { x-1 } \right ){ \rm{ d } }x=7 } $ và$ \int _{ 1 }^{ 2 } { 2x.f'\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right ){ \rm{ d } }x=-3 } $. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ tại điểm có hoành độ $ x=3 $ là
Xem lời giải
Lời giải
Từ đồ thị ta có $ f\left ( { 0 } \right )=2 $, $ f'\left ( { 0 } \right )=0 $ (vì $ x=0 $ là điểm cực trị).
Từ giả thiết ta có
$ -3=\int _{ 1 }^{ 2 } { 2xf'\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right ){ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 2 } { f'\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right ){ \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right )=\int _{ 0 }^{ 3 } { f'\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t=f\left ( { 3 } \right )-f\left ( { 0 } \right )\Rightarrow f\left ( { 3 } \right )=-1 } } } $.
$ 7=\int _{ 1 }^{ 4 } { xf''\left ( { x-1 } \right ){ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 4 } { \left[ \left ( { x-1 } \right )+1 \right]f''\left ( { x-1 } \right ){ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 3 } { \left ( { t+1 } \right )f''\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } } } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=t+1 \\ dv=f''\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u={ \rm{ d } }t \\ v=f'\left ( { t } \right ) \end{array} \right. $.
$ 7=\left | { \left ( { t+1 } \right )f'\left ( { t } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 3 }-\int _{ 0 }^{ 3 } { f'\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t=4f'\left ( { 3 } \right )-f'\left ( { 0 } \right )+3 } $ $ \Rightarrow f'\left ( { 3 } \right )=1 $.
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $ x=3 $ là $ y=x-4 $. Chọn#A.
