Bài tập nâng cao · Bài 88
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 88
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 1;2 \right] $ và thỏa mãn: $ f\left ( { 2 } \right )=0,\,\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { f'(x) } \right ) ^ { 2 } }dx=\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 2 } { 3 } $ và $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f(x) } { (x+1) ^ { 2 } } }\,dx=-\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 3 } { 2 } $. Tính tích phân $ \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ) }dx $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }dx }=\left | { -\frac { 1 } { x+1 }f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx }=-\frac { 1 } { 3 }f\left ( { 2 } \right )+\frac { 1 } { 2 }f\left ( { 1 } \right )+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx } $
Do $ f\left ( { 2 } \right )=0 $ nên $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx }+\frac { 1 } { 2 }f\left ( { 1 } \right )=-\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 3 } { 2 } $
Lại có $ \int _{ 1 }^{ 2 } { f'\left ( { x } \right )dx }=f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { 1 } \right ) $ $ \Rightarrow f\left ( { 1 } \right )=-\int _{ 1 }^{ 2 } { f'\left ( { x } \right )dx } $
Suy ra $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \frac { 1 } { x+1 }-\frac { 1 } { 2 } \right]f'\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 3 } { 2 } $
Mặt khác $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 1 } { x+1 }-\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } dx }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }-\frac { 1 } { x+1 }+\frac { 1 } { 4 } } \right )dx }=\left | { \left ( { -\frac { 1 } { x+1 }-ln\left | { x+1 } \right |+\frac { 1 } { 4 }x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 2 } { 3 } $
Vậy:
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } dx }+2\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \frac { 1 } { x+1 }-\frac { 1 } { 2 } \right]f'\left ( { x } \right )dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 1 } { x+1 }-\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } dx } } \\ =\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 2 } { 3 }+2\left ( { -\frac { 5 } { 12 }-ln\frac { 2 } { 3 } } \right )+\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 2 } { 3 }=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )+\frac { 1 } { x+1 }-\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } dx }=0 $ $ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { x+1 } $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=-ln\left | { x+1 } \right |+\frac { 1 } { 2 }x+ln3-1 $
do $ f\left ( { 2 } \right )=0 $ $ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=\left | { \left[ \frac { 1 } { 4 }x ^ { 2 } -x+xln3-\left ( { \left ( { x+1 } \right )ln\left ( { x+1 } \right )-\left ( { x+1 } \right ) } \right ) \right] } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 3 } { 4 }+2ln\frac { 2 } { 3 } $.
Do $ f\left ( { 2 } \right )=0 $ nên $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx }+\frac { 1 } { 2 }f\left ( { 1 } \right )=-\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 3 } { 2 } $
Lại có $ \int _{ 1 }^{ 2 } { f'\left ( { x } \right )dx }=f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { 1 } \right ) $ $ \Rightarrow f\left ( { 1 } \right )=-\int _{ 1 }^{ 2 } { f'\left ( { x } \right )dx } $
Suy ra $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \frac { 1 } { x+1 }-\frac { 1 } { 2 } \right]f'\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 3 } { 2 } $
Mặt khác $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 1 } { x+1 }-\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } dx }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }-\frac { 1 } { x+1 }+\frac { 1 } { 4 } } \right )dx }=\left | { \left ( { -\frac { 1 } { x+1 }-ln\left | { x+1 } \right |+\frac { 1 } { 4 }x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 2 } { 3 } $
Vậy:
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } dx }+2\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \frac { 1 } { x+1 }-\frac { 1 } { 2 } \right]f'\left ( { x } \right )dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 1 } { x+1 }-\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } dx } } \\ =\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 2 } { 3 }+2\left ( { -\frac { 5 } { 12 }-ln\frac { 2 } { 3 } } \right )+\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 2 } { 3 }=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )+\frac { 1 } { x+1 }-\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } dx }=0 $ $ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { x+1 } $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=-ln\left | { x+1 } \right |+\frac { 1 } { 2 }x+ln3-1 $
do $ f\left ( { 2 } \right )=0 $ $ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=\left | { \left[ \frac { 1 } { 4 }x ^ { 2 } -x+xln3-\left ( { \left ( { x+1 } \right )ln\left ( { x+1 } \right )-\left ( { x+1 } \right ) } \right ) \right] } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 3 } { 4 }+2ln\frac { 2 } { 3 } $.