Bài tập nâng cao · Bài 89
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 89
Cho hàm số$ f(x) $có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x) }\,{ \rm{ d } }x=1 $, $ f\left ( { 1 } \right )=cot1 $.
Tính tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right )tan ^ { 2 } x+f'\left ( { x } \right )tanx } \right )\,{ \rm{ d } }x } $.
Tính tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right )tan ^ { 2 } x+f'\left ( { x } \right )tanx } \right )\,{ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
CÁCH 1:
Đặt $I_1=\int_0^1 f(x)\tan^2x\,dx$ và $I_2=\int_0^1 f'(x)\tan x\,dx$. Khi đó $I=I_1+I_2$.
Tích phân từng phần với $u=\tan x$, $dv=f'(x)\,dx$ cho
$I_2=[f(x)\tan x]_0^1-\int_0^1f(x)(1+\tan^2x)\,dx$.
Vì $f(1)=\cot1$ và $\int_0^1f(x)\,dx=1$, suy ra $I_2=1-1-I_1=-I_1$. Do đó $I=0$.
CÁCH 2:
Ta có
$[f(x)\tan x]'=f'(x)\tan x+f(x)(1+\tan^2x)$,
nên
$f(x)\tan^2x+f'(x)\tan x=[f(x)\tan x]'-f(x)$.
Vì vậy
$I=[f(x)\tan x]_0^1-\int_0^1f(x)\,dx=\cot1\tan1-1=0$.
Đặt $I_1=\int_0^1 f(x)\tan^2x\,dx$ và $I_2=\int_0^1 f'(x)\tan x\,dx$. Khi đó $I=I_1+I_2$.
Tích phân từng phần với $u=\tan x$, $dv=f'(x)\,dx$ cho
$I_2=[f(x)\tan x]_0^1-\int_0^1f(x)(1+\tan^2x)\,dx$.
Vì $f(1)=\cot1$ và $\int_0^1f(x)\,dx=1$, suy ra $I_2=1-1-I_1=-I_1$. Do đó $I=0$.
CÁCH 2:
Ta có
$[f(x)\tan x]'=f'(x)\tan x+f(x)(1+\tan^2x)$,
nên
$f(x)\tan^2x+f'(x)\tan x=[f(x)\tan x]'-f(x)$.
Vì vậy
$I=[f(x)\tan x]_0^1-\int_0^1f(x)\,dx=\cot1\tan1-1=0$.