Bài tập nâng cao · Bài 90
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 90
Cho hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên $ \mathbb{R} $. Biết rằng các tiếp tuyến với đồ thị $ y=f(x) $ tại các điểm có hoành độ $ x=-1 $; $ x=0 $; $ x=1 $ lần lượt tạo với chiều dương trục $ Ox $ các góc $ 30° $, $ 45° $, $ 60° $. Tính tích phân $ I=\int _{ -1 }^{ 0 } { f'\left ( { x } \right ).f''\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+4\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } .f''\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $?
Xem lời giải
Lời giải
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ tại điểm có hoành độ $ x=-1 $ là
$ f'\left ( { -1 } \right )=tan30°=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } } $.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ tại điểm có hoành độ $ x=0 $là
$ f'\left ( { 0 } \right )=tan45°=1 $
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ tại điểm có hoành độ $ x=1 $ là
$ f'\left ( { 1 } \right )=tan60°=\sqrt[] { 3 } $.
Ta có
$ I=\int _{ -1 }^{ 0 } { f'\left ( { x } \right ).f''\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+4\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } .f''\left ( { x } \right )dx }=\left | { \frac { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ -1 } ^{ 0 }+\left | { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 4 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 } =\frac { \left[ f'\left ( { 0 } \right ) \right] ^ { 2 } } { 2 }-\frac { \left[ f'\left ( { -1 } \right ) \right] ^ { 2 } } { 2 }+\left[ f'\left ( { 1 } \right ) \right] ^ { 4 } -\left[ f'\left ( { 0 } \right ) \right] ^ { 4 } =\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { 6 }+9-1=\frac { 25 } { 3 } $.
$ f'\left ( { -1 } \right )=tan30°=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } } $.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ tại điểm có hoành độ $ x=0 $là
$ f'\left ( { 0 } \right )=tan45°=1 $
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ tại điểm có hoành độ $ x=1 $ là
$ f'\left ( { 1 } \right )=tan60°=\sqrt[] { 3 } $.
Ta có
$ I=\int _{ -1 }^{ 0 } { f'\left ( { x } \right ).f''\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+4\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } .f''\left ( { x } \right )dx }=\left | { \frac { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ -1 } ^{ 0 }+\left | { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 4 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 } =\frac { \left[ f'\left ( { 0 } \right ) \right] ^ { 2 } } { 2 }-\frac { \left[ f'\left ( { -1 } \right ) \right] ^ { 2 } } { 2 }+\left[ f'\left ( { 1 } \right ) \right] ^ { 4 } -\left[ f'\left ( { 0 } \right ) \right] ^ { 4 } =\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { 6 }+9-1=\frac { 25 } { 3 } $.