Bài tập nâng cao · Bài 91
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 91
Cho hàm số $ f(x) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { tan\,x.f\left ( { \cos ^ { 2 } x } \right ) }dx=1 $, $ \int _{ e }^{ e ^ { 2 } } { \frac { f(ln ^ { 2 } x) } { xlnx }dx=1 } $. Tính tích phân $ I=\int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ 2 } { \frac { f(2x) } { x }dx } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { tan\,x.f\left ( { \cos ^ { 2 } x } \right ) }dx=1=J $
Đặt $ t=\cos ^ { 2 } x\Rightarrow dt=-2\sin x.\cos x\,dx $
Đổi cận $ x=0\Rightarrow t=1;\,\,x=\frac { \pi } { 4 }\Rightarrow t=\frac { 1 } { 2 } $
$ \frac { 1 } { 2 }\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt=1\Rightarrow \int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt=2 $
Mặt khác $ \int _{ e }^{ e ^ { 2 } } { \frac { f(ln ^ { 2 } x) } { xlnx }dx=1 } $
Đặt $ t=ln ^ { 2 } x\Rightarrow dt=2lnx.\frac { 1 } { x }.dx $
Đổi cận $ x=e\Rightarrow t=1;\,\,x=e ^ { 2 } \Rightarrow t=4 $
$ \int _{ e }^{ e ^ { 2 } } { \frac { f(ln ^ { 2 } x) } { xlnx }dx=1\Rightarrow \frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { f(t) } { t }dt= }1 }\Rightarrow \int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { f(t) } { t }dt=2 } $
$ I=\int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ 2 } { \frac { f(2x) } { x }dx }=2\int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ 2 } { \frac { f(2x) } { 2x }dx } $
Đặt $ t=2x\Rightarrow dt=2.dx $
Đổi cận $ x=\frac { 1 } { 4 }\Rightarrow t=\frac { 1 } { 2 };\,\,x=2\Rightarrow t=4 $
$ I=\int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ 2 } { \frac { f(2x) } { x }dx }=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 4 } { \frac { f(t) } { t }dx }=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt+\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt=4 $
Đặt $ t=\cos ^ { 2 } x\Rightarrow dt=-2\sin x.\cos x\,dx $
Đổi cận $ x=0\Rightarrow t=1;\,\,x=\frac { \pi } { 4 }\Rightarrow t=\frac { 1 } { 2 } $
$ \frac { 1 } { 2 }\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt=1\Rightarrow \int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt=2 $
Mặt khác $ \int _{ e }^{ e ^ { 2 } } { \frac { f(ln ^ { 2 } x) } { xlnx }dx=1 } $
Đặt $ t=ln ^ { 2 } x\Rightarrow dt=2lnx.\frac { 1 } { x }.dx $
Đổi cận $ x=e\Rightarrow t=1;\,\,x=e ^ { 2 } \Rightarrow t=4 $
$ \int _{ e }^{ e ^ { 2 } } { \frac { f(ln ^ { 2 } x) } { xlnx }dx=1\Rightarrow \frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { f(t) } { t }dt= }1 }\Rightarrow \int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { f(t) } { t }dt=2 } $
$ I=\int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ 2 } { \frac { f(2x) } { x }dx }=2\int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ 2 } { \frac { f(2x) } { 2x }dx } $
Đặt $ t=2x\Rightarrow dt=2.dx $
Đổi cận $ x=\frac { 1 } { 4 }\Rightarrow t=\frac { 1 } { 2 };\,\,x=2\Rightarrow t=4 $
$ I=\int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ 2 } { \frac { f(2x) } { x }dx }=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 4 } { \frac { f(t) } { t }dx }=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt+\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt=4 $