Bài tập nâng cao · Bài 92
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 92
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ không âm, có đạo hàm trên đoạn $ \left[ 0\,;\,1 \right] $ và thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=1 $, $ \left[ 2f\left ( { x } \right )+1-x ^ { 2 } \right]f'\left ( { x } \right )=2x\left[ 1+f\left ( { x } \right ) \right] $, $ ∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $. Tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Xét trên đoạn $ \left[ 0\,;\,1 \right] $, theo đề bài: $ \left[ 2f\left ( { x } \right )+1-x ^ { 2 } \right]f'\left ( { x } \right )=2x\left[ 1+f\left ( { x } \right ) \right] $
$ \Leftrightarrow 2f\left ( { x } \right ).f'\left ( { x } \right )=2x+\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right ).f'\left ( { x } \right )+2x.f\left ( { x } \right ) $
$\Leftrightarrow [f^2(x)]'=\left[x^2+(x^2-1)f(x)\right]'$
$ \Leftrightarrow f ^ { 2 } \left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right ).f\left ( { x } \right )+C $ $ \left ( { 1 } \right ) $.
Thay $ x=1 $ vào $ \left ( { 1 } \right ) $ ta được: $ f ^ { 2 } \left ( { 1 } \right )=1+C\Leftrightarrow C=0 $ (vì $ f\left ( { 1 } \right )=1 $).
Do đó, $ \left ( { 1 } \right ) $ trở thành: $ f ^ { 2 } \left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right ).f\left ( { x } \right ) $
$ \Leftrightarrow f ^ { 2 } \left ( { x } \right )-1=x ^ { 2 } -1+\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right ).f\left ( { x } \right ) $
$ \Leftrightarrow \left[ f\left ( { x } \right )-1 \right].\left[ f\left ( { x } \right )+1 \right]=\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right ).\left[ f\left ( { x } \right )+1 \right] $
$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )-1=x ^ { 2 } -1 $ (vì $ f\left ( { x } \right )\geq 0\Rightarrow f\left ( { x } \right )+1>0 $ $ ∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $)
$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\left | { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 1 } { 3 } $.
$ \Leftrightarrow 2f\left ( { x } \right ).f'\left ( { x } \right )=2x+\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right ).f'\left ( { x } \right )+2x.f\left ( { x } \right ) $
$\Leftrightarrow [f^2(x)]'=\left[x^2+(x^2-1)f(x)\right]'$
$ \Leftrightarrow f ^ { 2 } \left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right ).f\left ( { x } \right )+C $ $ \left ( { 1 } \right ) $.
Thay $ x=1 $ vào $ \left ( { 1 } \right ) $ ta được: $ f ^ { 2 } \left ( { 1 } \right )=1+C\Leftrightarrow C=0 $ (vì $ f\left ( { 1 } \right )=1 $).
Do đó, $ \left ( { 1 } \right ) $ trở thành: $ f ^ { 2 } \left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right ).f\left ( { x } \right ) $
$ \Leftrightarrow f ^ { 2 } \left ( { x } \right )-1=x ^ { 2 } -1+\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right ).f\left ( { x } \right ) $
$ \Leftrightarrow \left[ f\left ( { x } \right )-1 \right].\left[ f\left ( { x } \right )+1 \right]=\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right ).\left[ f\left ( { x } \right )+1 \right] $
$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )-1=x ^ { 2 } -1 $ (vì $ f\left ( { x } \right )\geq 0\Rightarrow f\left ( { x } \right )+1>0 $ $ ∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $)
$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\left | { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 1 } { 3 } $.