Bài tập nâng cao · Bài 93
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 93
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm trên $ \left ( { 0\,;\,+\infty } \right ) $ thỏa mãn $ 2xf'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right )=2x $ $ ∀x\in \left ( { 0\,;\,+\infty } \right ) $, $ f\left ( { 1 } \right )=1 $. Giá trị của biểu thức $ f\left ( { 4 } \right ) $ là:
Xem lời giải
Lời giải
Xét phương trình $2xf'(x)+f(x)=2x$ trên $(0,+\infty)$:
$f'(x)+\frac{1}{2x}f(x)=1$.
Một nhân tử tích phân là $e^{\int\frac{1}{2x}dx}=\sqrt{x}$. Nhân hai vế với $\sqrt{x}$ được
$\left[\sqrt{x}f(x)\right]'=\sqrt{x}$.
Lấy tích phân từ $1$ đến $4$:
$[\sqrt{x}f(x)]_1^4=\int_1^4\sqrt{x}\,dx=\frac{14}{3}$.
Do $f(1)=1$, ta có $2f(4)-1=\frac{14}{3}$, nên $f(4)=\frac{17}{6}$.
$f'(x)+\frac{1}{2x}f(x)=1$.
Một nhân tử tích phân là $e^{\int\frac{1}{2x}dx}=\sqrt{x}$. Nhân hai vế với $\sqrt{x}$ được
$\left[\sqrt{x}f(x)\right]'=\sqrt{x}$.
Lấy tích phân từ $1$ đến $4$:
$[\sqrt{x}f(x)]_1^4=\int_1^4\sqrt{x}\,dx=\frac{14}{3}$.
Do $f(1)=1$, ta có $2f(4)-1=\frac{14}{3}$, nên $f(4)=\frac{17}{6}$.