Bài tập nâng cao · Bài 94
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 94
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \left[ 0\,;\,1 \right] $ và thỏa mãn $ \sqrt[] { x ^ { 3 } +1 }.\left[ 4x.f'\left ( { 1-x } \right )-f\left ( { x } \right ) \right]=x ^ { 5 } $. Tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ có kết quả dạng $ \frac { a-b\sqrt[] { 2 } } { c } $, ($ a,\,\,b,\,\,c\in \mathbb{Z},\,\,\frac { a } { c },\,\,\frac { b } { c } $ là phân số tối giản). Giá trị của biểu thức $ T=a-2b+3c $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Trên đoạn $ \left[ 0\,;\,1 \right] $, phương trình đã cho tương đương với: $ 4x.f'\left ( { 1-x } \right )-f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 5 } } { \sqrt[] { x ^ { 3 } +1 } } $ $ \left ( { 1 } \right ) $.
Lấy tích phân 2 vế của $ \left ( { 1 } \right ) $ từ $ 0 $ đến 1: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { 4x.f'\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x }J︸-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }I︸=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 5 } } { \sqrt[] { x ^ { 3 } +1 } }{ \rm{ d } }x }K︸ $ $ \left ( { 2 } \right ) $.
Để tính $ K $, ta đặt $ t=\sqrt[] { x ^ { 3 } +1 }\Rightarrow t ^ { 2 } -1=x ^ { 3 } \Rightarrow 2t{ \rm{ d } }t=3x ^ { 2 } { \rm{ d } }x\Rightarrow x ^ { 2 } { \rm{ d } }x=\frac { 2 } { 3 }t{ \rm{ d } }t $.
Đổi cận: Với $ x=0 $ thì $ t=1 $. Với $ x=1 $ thì $ t=\sqrt[] { 2 } $.
$ \Rightarrow K=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 3 } } { \sqrt[] { x ^ { 3 } +1 } }\cdot x ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { 2 } } { \frac { t ^ { 2 } -1 } { t }\cdot \frac { 2t } { 3 }{ \rm{ d } }t }=\frac { 2 } { 3 }\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { 2 } } { \left ( { t ^ { 2 } -1 } \right ){ \rm{ d } }t }=\left | { \frac { 2 } { 3 }\left ( { \frac { t ^ { 3 } } { 3 }-t } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ \sqrt[] { 2 } }=\frac { 4-2\sqrt[] { 2 } } { 9 } $.
Để tính $ J $, ta đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=4x \\ { \rm{ d } }v=f'\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=4{ \rm{ d } }x \\ v=-f\left ( { 1-x } \right ) \end{array} \right. $.
$ \Rightarrow J=\left | { -4x.f\left ( { 1-x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+4\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x } =-4f\left ( { 0 } \right )+4\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } $ (với $ t=1-x $)
$ =-4f\left ( { 0 } \right )+4\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-4f\left ( { 0 } \right )+4I $.
Thay $ x=0 $ vào $ \left ( { 1 } \right ) $, ta được: $ f\left ( { 0 } \right )=0\Rightarrow J=4I $.
Do đó, $ \left ( { 2 } \right ) $ trở thành $ 3I=\frac { 4-2\sqrt[] { 2 } } { 9 }\Leftrightarrow I=\frac { 4-2\sqrt[] { 2 } } { 27 }\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=4 \\ b=2 \\ c=27 \end{array} \right. $.
Lấy tích phân 2 vế của $ \left ( { 1 } \right ) $ từ $ 0 $ đến 1: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { 4x.f'\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x }J︸-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }I︸=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 5 } } { \sqrt[] { x ^ { 3 } +1 } }{ \rm{ d } }x }K︸ $ $ \left ( { 2 } \right ) $.
Để tính $ K $, ta đặt $ t=\sqrt[] { x ^ { 3 } +1 }\Rightarrow t ^ { 2 } -1=x ^ { 3 } \Rightarrow 2t{ \rm{ d } }t=3x ^ { 2 } { \rm{ d } }x\Rightarrow x ^ { 2 } { \rm{ d } }x=\frac { 2 } { 3 }t{ \rm{ d } }t $.
Đổi cận: Với $ x=0 $ thì $ t=1 $. Với $ x=1 $ thì $ t=\sqrt[] { 2 } $.
$ \Rightarrow K=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 3 } } { \sqrt[] { x ^ { 3 } +1 } }\cdot x ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { 2 } } { \frac { t ^ { 2 } -1 } { t }\cdot \frac { 2t } { 3 }{ \rm{ d } }t }=\frac { 2 } { 3 }\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { 2 } } { \left ( { t ^ { 2 } -1 } \right ){ \rm{ d } }t }=\left | { \frac { 2 } { 3 }\left ( { \frac { t ^ { 3 } } { 3 }-t } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ \sqrt[] { 2 } }=\frac { 4-2\sqrt[] { 2 } } { 9 } $.
Để tính $ J $, ta đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=4x \\ { \rm{ d } }v=f'\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=4{ \rm{ d } }x \\ v=-f\left ( { 1-x } \right ) \end{array} \right. $.
$ \Rightarrow J=\left | { -4x.f\left ( { 1-x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+4\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x } =-4f\left ( { 0 } \right )+4\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } $ (với $ t=1-x $)
$ =-4f\left ( { 0 } \right )+4\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-4f\left ( { 0 } \right )+4I $.
Thay $ x=0 $ vào $ \left ( { 1 } \right ) $, ta được: $ f\left ( { 0 } \right )=0\Rightarrow J=4I $.
Do đó, $ \left ( { 2 } \right ) $ trở thành $ 3I=\frac { 4-2\sqrt[] { 2 } } { 9 }\Leftrightarrow I=\frac { 4-2\sqrt[] { 2 } } { 27 }\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=4 \\ b=2 \\ c=27 \end{array} \right. $.