Bài tập nâng cao · Bài 95
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 95
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm và liên tục trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn
$ 2f\left ( { x } \right )+f'\left ( { x } \right )=2x+1,\,∀x\in \mathbb{R} $ và $ f\left ( { 0 } \right )=1 $. Giá trị của $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
$ 2f\left ( { x } \right )+f'\left ( { x } \right )=2x+1,\,∀x\in \mathbb{R} $ và $ f\left ( { 0 } \right )=1 $. Giá trị của $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$2f(x)+f'(x)=2x+1\Leftrightarrow [e^{2x}f(x)]'=e^{2x}(2x+1)$.
Lấy nguyên hàm hai vế:
$e^{2x}f(x)=xe^{2x}+C$,
vì $\int e^{2x}(2x+1)\,dx=xe^{2x}+C$.
Suy ra $f(x)=x+Ce^{-2x}$. Từ $f(0)=1$ được $C=1$, nên $f(x)=x+e^{-2x}$.
Do đó
$\int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1(x+e^{-2x})\,dx=1-\frac{1}{2e^2}$.
$2f(x)+f'(x)=2x+1\Leftrightarrow [e^{2x}f(x)]'=e^{2x}(2x+1)$.
Lấy nguyên hàm hai vế:
$e^{2x}f(x)=xe^{2x}+C$,
vì $\int e^{2x}(2x+1)\,dx=xe^{2x}+C$.
Suy ra $f(x)=x+Ce^{-2x}$. Từ $f(0)=1$ được $C=1$, nên $f(x)=x+e^{-2x}$.
Do đó
$\int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1(x+e^{-2x})\,dx=1-\frac{1}{2e^2}$.