Bài tập nâng cao · Bài 96
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 96
Cho đa thức bậc bốn $ y=f\left ( { x } \right ) $ đạt cực trị tại $ x=1 $ và $ x=2 $. Biết $ \mathop { lim } \limits_{ x\to \,0 } \frac { 2x+f'\left ( { x } \right ) } { 2x }=2 $. Tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f'\left ( { x } \right )dx } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Hàm đa thức bậc bốn đạt cực trị tại $ x=1 $ và $ x=2\Rightarrow f'\left ( { 1 } \right )=f'\left ( { 2 } \right )=0 $.
mà $ \mathop { lim } \limits_{ x\to \,0 } \frac { 2x+f'\left ( { x } \right ) } { 2x }=2\Rightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to 0 } \frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2x }=1 $. Giả sử $ f'\left ( { 0 } \right )\neq 0\Rightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to \,0 } \frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2x } $ bằng vô cực (vô lí).
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=0 $.
$ f\left ( { x } \right ) $ là hàm bậc bốn $ \Rightarrow f'\left ( { x } \right ) $ là hàm bậc ba, nên $ f'\left ( { x } \right )=ax\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-2 } \right ) $.
Theo đề bài ta có $ \mathop { lim } \limits_{ x\to \,0 } \frac { 2x+ax\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-2 } \right ) } { 2x }=2\Rightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to \,0 } \frac { 2+a\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-2 } \right ) } { 2 }=2\Leftrightarrow a=1 $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-2 } \right )dx=\frac { 1 } { 4 } } $.
mà $ \mathop { lim } \limits_{ x\to \,0 } \frac { 2x+f'\left ( { x } \right ) } { 2x }=2\Rightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to 0 } \frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2x }=1 $. Giả sử $ f'\left ( { 0 } \right )\neq 0\Rightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to \,0 } \frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2x } $ bằng vô cực (vô lí).
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=0 $.
$ f\left ( { x } \right ) $ là hàm bậc bốn $ \Rightarrow f'\left ( { x } \right ) $ là hàm bậc ba, nên $ f'\left ( { x } \right )=ax\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-2 } \right ) $.
Theo đề bài ta có $ \mathop { lim } \limits_{ x\to \,0 } \frac { 2x+ax\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-2 } \right ) } { 2x }=2\Rightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to \,0 } \frac { 2+a\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-2 } \right ) } { 2 }=2\Leftrightarrow a=1 $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-2 } \right )dx=\frac { 1 } { 4 } } $.