Bài tập nâng cao · Bài 97
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 97
Cho hàm số $ y=f(x) $xác định và có đạo hàm $ f'(x) $ liên tục trên $ [1;3] $; $ f(x)\neq 0,∀x\in [1;3]; $ $ f'(x)[1+f(x)] ^ { 2 } =(x-1) ^ { 2 } [f(x)] ^ { 4 } $ và $ f(1)=-1 $. Biết rằng $ \int _{ e }^{ 3 } { f(x){ \rm{ d } }x }=aln3+b\,(a,b\in \mathbb{Z}) $, giá trị của $ a+b ^ { 2 } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Từ $ f'(x)[1+f(x)] ^ { 2 } =(x-1) ^ { 2 } [f(x)] ^ { 4 } \Leftrightarrow \frac { f'(x) } { f ^ { 4 } (x) }+\frac { 2f'(x) } { f ^ { 3 } (x) }+\frac { f'(x) } { f ^ { 2 } (x) }=(x-1) ^ { 2 } $.
Hay $ \int { \left ( { \frac { f'(x) } { f ^ { 4 } (x) }+\frac { 2f'(x) } { f ^ { 3 } (x) }+\frac { f'(x) } { f ^ { 2 } (x) } } \right ){ \rm{ d } }x }=\int { (x-1) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }\Rightarrow -\left ( { \frac { 1 } { 3f ^ { 3 } (x) }+\frac { 1 } { f ^ { 2 } (x) }+\frac { 1 } { f(x) } } \right )=\frac { 1 } { 3 }(x-1) ^ { 3 } +C $(2).
Do $ f(1)=-1 $ nên $ C=\frac { 1 } { 3 } $. Thay vào (2) ta được $ \left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 3 } =-(x-1) ^ { 3 } \Rightarrow f(x)=\frac { -1 } { x } $.
Khi đó: $ \int _{ e }^{ 3 } { \frac { -1 } { x }{ \rm{ d } }x }=\left | { -ln\left | { x } \right | } \right ._{ e } ^{ 3 }=-ln3+1\Rightarrow a=-1,b=1 $, nên $ a+b ^ { 2 } =0 $.
Cách khác
Từ $ f'(x)[1+f(x)] ^ { 2 } =(x-1) ^ { 2 } [f(x)] ^ { 4 } \Leftrightarrow \left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 2 } .\frac { f'(x) } { f ^ { 2 } (x) }=(x-1) ^ { 2 } $.
$ \Leftrightarrow -\left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 2 } .\left(\frac1{f(x)}+1\right)' =(x-1) ^ { 2 } $.
Nên $ -\int { \left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 2 } .\left(\frac1{f(x)}+1\right)' dx }=\int { (x-1) ^ { 2 } dx }\Rightarrow -\int { \left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 2 } d }\left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right )=\int { (x-1) ^ { 2 } dx } $.
Suy ra $ -\frac { 1 } { 3 }\left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 3 } =\frac { 1 } { 3 }\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } +C $(2).
Do $ f(1)=-1 $ nên $ C=0 $. Thay vào (2) ta được $ \left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 3 } =-(x-1) ^ { 3 } \Rightarrow f(x)=\frac { -1 } { x } $.
Hay $ \int { \left ( { \frac { f'(x) } { f ^ { 4 } (x) }+\frac { 2f'(x) } { f ^ { 3 } (x) }+\frac { f'(x) } { f ^ { 2 } (x) } } \right ){ \rm{ d } }x }=\int { (x-1) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }\Rightarrow -\left ( { \frac { 1 } { 3f ^ { 3 } (x) }+\frac { 1 } { f ^ { 2 } (x) }+\frac { 1 } { f(x) } } \right )=\frac { 1 } { 3 }(x-1) ^ { 3 } +C $(2).
Do $ f(1)=-1 $ nên $ C=\frac { 1 } { 3 } $. Thay vào (2) ta được $ \left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 3 } =-(x-1) ^ { 3 } \Rightarrow f(x)=\frac { -1 } { x } $.
Khi đó: $ \int _{ e }^{ 3 } { \frac { -1 } { x }{ \rm{ d } }x }=\left | { -ln\left | { x } \right | } \right ._{ e } ^{ 3 }=-ln3+1\Rightarrow a=-1,b=1 $, nên $ a+b ^ { 2 } =0 $.
Cách khác
Từ $ f'(x)[1+f(x)] ^ { 2 } =(x-1) ^ { 2 } [f(x)] ^ { 4 } \Leftrightarrow \left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 2 } .\frac { f'(x) } { f ^ { 2 } (x) }=(x-1) ^ { 2 } $.
$ \Leftrightarrow -\left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 2 } .\left(\frac1{f(x)}+1\right)' =(x-1) ^ { 2 } $.
Nên $ -\int { \left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 2 } .\left(\frac1{f(x)}+1\right)' dx }=\int { (x-1) ^ { 2 } dx }\Rightarrow -\int { \left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 2 } d }\left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right )=\int { (x-1) ^ { 2 } dx } $.
Suy ra $ -\frac { 1 } { 3 }\left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 3 } =\frac { 1 } { 3 }\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } +C $(2).
Do $ f(1)=-1 $ nên $ C=0 $. Thay vào (2) ta được $ \left ( { \frac { 1 } { f(x) }+1 } \right ) ^ { 3 } =-(x-1) ^ { 3 } \Rightarrow f(x)=\frac { -1 } { x } $.