Bài tập nâng cao · Bài 98
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 98
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 1\,;2 \right] $ thỏa mãn $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { 1 } { 3 } $, $ f\left ( { 2 } \right )=0 $ và $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=7 $. Tính tích phân $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ { \rm{ d } }v=\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x \\ v=\frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } } { 3 } \end{array} \right. $.
Khi đó, $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f\left ( { x } \right ) } { 3 } } \right ._{ 1 } ^{ 2 }-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Rightarrow -\frac { 1 } { 3 }=-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ (vì $ f\left ( { 2 } \right )=0 $)
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=1 $.
Ta lại có: $ \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=7 \\ \int _{ 1 }^{ 2 } { 14\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=14 \\ \int _{ 1 }^{ 2 } { 49\left ( { x-1 } \right ) ^ { 6 } { \rm{ d } }x }=\left | { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 7 } } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=7 \end{array} \right. $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }-\int _{ 1 }^{ 2 } { 14\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 1 }^{ 2 } { 49\left ( { x-1 } \right ) ^ { 6 } { \rm{ d } }x }=0 $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $ $ \left ( { 1 } \right ) $, mà $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }\geq 0 $.
nên $ \left ( { 1 } \right )\Rightarrow f'\left ( { x } \right )-7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } =0\Rightarrow f'\left ( { x } \right )=7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }+C $.
Mà $ f\left ( { 2 } \right )=0\Leftrightarrow \frac { 7 } { 4 }+C=0\Leftrightarrow C=-\frac { 7 } { 4 }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 7 } { 4 }\left[ \left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } -1 \right] $.
$ \Rightarrow I=\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 7 } { 4 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } -1 \right]{ \rm{ d } }x }=\left | { \frac { 7 } { 4 }\left[ \frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 5 } } { 5 }-x \right] } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=-\frac { 7 } { 5 } $.
Vậy $ I=-\frac { 7 } { 5 } $.
Khi đó, $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f\left ( { x } \right ) } { 3 } } \right ._{ 1 } ^{ 2 }-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Rightarrow -\frac { 1 } { 3 }=-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ (vì $ f\left ( { 2 } \right )=0 $)
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=1 $.
Ta lại có: $ \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=7 \\ \int _{ 1 }^{ 2 } { 14\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=14 \\ \int _{ 1 }^{ 2 } { 49\left ( { x-1 } \right ) ^ { 6 } { \rm{ d } }x }=\left | { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 7 } } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=7 \end{array} \right. $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }-\int _{ 1 }^{ 2 } { 14\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 1 }^{ 2 } { 49\left ( { x-1 } \right ) ^ { 6 } { \rm{ d } }x }=0 $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $ $ \left ( { 1 } \right ) $, mà $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }\geq 0 $.
nên $ \left ( { 1 } \right )\Rightarrow f'\left ( { x } \right )-7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } =0\Rightarrow f'\left ( { x } \right )=7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }+C $.
Mà $ f\left ( { 2 } \right )=0\Leftrightarrow \frac { 7 } { 4 }+C=0\Leftrightarrow C=-\frac { 7 } { 4 }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 7 } { 4 }\left[ \left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } -1 \right] $.
$ \Rightarrow I=\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 7 } { 4 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } -1 \right]{ \rm{ d } }x }=\left | { \frac { 7 } { 4 }\left[ \frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 5 } } { 5 }-x \right] } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=-\frac { 7 } { 5 } $.
Vậy $ I=-\frac { 7 } { 5 } $.