Bài tập nâng cao · Bài 99
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 99
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $3f'(x)e^{f^3(x)-x^2-1}-\frac{2x}{f^2(x)}=0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Biết $f(0)=1$, tính $\int_0^{\sqrt7}xf(x)\,dx$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ 3f'\left ( { x } \right ).{ \rm{ e } } ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right )-x ^ { 2 } -1 } -\frac { 2x } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }=0 $$ \Leftrightarrow $$ 3f ^ { 2 } \left ( { x } \right ).f'\left ( { x } \right ).{ \rm{ e } } ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } =2x.{ \rm{ e } } ^ { x ^ { 2 } +1 } $
$ \Rightarrow \int { 3f ^ { 2 } \left ( { x } \right ).f'\left ( { x } \right ).{ \rm{ e } } ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } { \rm{ d } }x=\int { 2x.{ \rm{ e } } ^ { x ^ { 2 } +1 } } }{ \rm{ d } }x $$ \Rightarrow \int { { \rm{ e } } ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } { \rm{ d } }\left ( { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } \right )=\int { { \rm{ e } } ^ { x ^ { 2 } +1 } } }{ \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) $ $ \Rightarrow { \rm{ e } } ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } ={ \rm{ e } } ^ { x ^ { 2 } +1 } +C $. Mặt khác, vì $ f\left ( { 0 } \right )=1 $ nên $ C=0 $.
Do đó $ { \rm{ e } } ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } ={ \rm{ e } } ^ { x ^ { 2 } +1 } $$ \Leftrightarrow f ^ { 3 } \left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +1 $$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 } $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 7 } } { x.f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 7 } } { x.\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 }\,{ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 7 } } { \sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 }\,{ \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) } =\frac { 3 } { 8 }\left | { \left[ \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 } \right] } \right ._{ 0 } ^{ \sqrt[] { 7 } } =\frac { 45 } { 8 } $.
$ \Rightarrow \int { 3f ^ { 2 } \left ( { x } \right ).f'\left ( { x } \right ).{ \rm{ e } } ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } { \rm{ d } }x=\int { 2x.{ \rm{ e } } ^ { x ^ { 2 } +1 } } }{ \rm{ d } }x $$ \Rightarrow \int { { \rm{ e } } ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } { \rm{ d } }\left ( { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } \right )=\int { { \rm{ e } } ^ { x ^ { 2 } +1 } } }{ \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) $ $ \Rightarrow { \rm{ e } } ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } ={ \rm{ e } } ^ { x ^ { 2 } +1 } +C $. Mặt khác, vì $ f\left ( { 0 } \right )=1 $ nên $ C=0 $.
Do đó $ { \rm{ e } } ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } ={ \rm{ e } } ^ { x ^ { 2 } +1 } $$ \Leftrightarrow f ^ { 3 } \left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +1 $$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 } $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 7 } } { x.f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 7 } } { x.\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 }\,{ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 7 } } { \sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 }\,{ \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) } =\frac { 3 } { 8 }\left | { \left[ \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 } \right] } \right ._{ 0 } ^{ \sqrt[] { 7 } } =\frac { 45 } { 8 } $.