Bài tập nâng cao · Bài 100
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 100
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục và có đạo hàm trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn $ 3f ^ { 2 } \left ( { x } \right ).f'\left ( { x } \right )-4x.e ^ { -f ^ { 3 } \left ( { x } \right )+2x ^ { 2 } +x+1 } =1=f\left ( { 0 } \right ) $. Biết rằng $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { -1+\sqrt[] { 4089 } } { 4 } } { \left ( { 4x+1 } \right )f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { a } { b } $ là phân số tối giản. Tính $ T=a-3b $.
Xem lời giải
Lời giải
Từ giả thiết,
$3f^2(x)f'(x)-4xe^{-f^3(x)+2x^2+x+1}=1$.
Nhân với $e^{f^3(x)}$ rồi chuyển vế:
$3f^2(x)f'(x)e^{f^3(x)}-(4x+1)e^{2x^2+x+1}=e^{f^3(x)}-e^{2x^2+x+1}$.
Đặt $Y=e^{f^3(x)}-e^{2x^2+x+1}$. Khi đó $Y'=Y$, nên $Y=Ce^x$.
Từ $f(0)=1$ suy ra $C=0$. Do đó
$e^{f^3(x)}=e^{2x^2+x+1}$, hay $f^3(x)=2x^2+x+1$.
Suy ra $f(x)=\sqrt[3]{2x^2+x+1}$ và
$I=\int_0^{\frac{-1+\sqrt{4089}}4}(4x+1)\sqrt[3]{2x^2+x+1}\,dx$.
Đặt $t=\sqrt[3]{2x^2+x+1}$ thì $3t^2dt=(4x+1)dx$; cận đổi từ $t=1$ đến $t=8$. Vì vậy
$I=\int_1^8 3t^3\,dt=\frac{12285}{4}$.
Suy ra $a=12285$, $b=4$ và $T=a-3b=12273$.
$3f^2(x)f'(x)-4xe^{-f^3(x)+2x^2+x+1}=1$.
Nhân với $e^{f^3(x)}$ rồi chuyển vế:
$3f^2(x)f'(x)e^{f^3(x)}-(4x+1)e^{2x^2+x+1}=e^{f^3(x)}-e^{2x^2+x+1}$.
Đặt $Y=e^{f^3(x)}-e^{2x^2+x+1}$. Khi đó $Y'=Y$, nên $Y=Ce^x$.
Từ $f(0)=1$ suy ra $C=0$. Do đó
$e^{f^3(x)}=e^{2x^2+x+1}$, hay $f^3(x)=2x^2+x+1$.
Suy ra $f(x)=\sqrt[3]{2x^2+x+1}$ và
$I=\int_0^{\frac{-1+\sqrt{4089}}4}(4x+1)\sqrt[3]{2x^2+x+1}\,dx$.
Đặt $t=\sqrt[3]{2x^2+x+1}$ thì $3t^2dt=(4x+1)dx$; cận đổi từ $t=1$ đến $t=8$. Vì vậy
$I=\int_1^8 3t^3\,dt=\frac{12285}{4}$.
Suy ra $a=12285$, $b=4$ và $T=a-3b=12273$.