Bài tập nâng cao · Bài 101
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 101
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 0\,;\,1 \right] $, thỏa mãn $ \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } +4f\left ( { x } \right )=8x ^ { 2 } +4,\,∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $ và $ f\left ( { 1 } \right )=2 $. Tính $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Có $ \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } +4f\left ( { x } \right )=8x ^ { 2 } +4\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }+4\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 8x ^ { 2 } +4 } \right ){ \rm{ d } }x=\frac { 20 } { 3 } } $. (1)
Ta có $ \int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { xf\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=2-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }\Rightarrow -4\int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-8+4\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $. (2)
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 2x } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { 4 } { 3 } $. (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )-2x } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0\Rightarrow f'\left ( { x } \right )=2x\Rightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +C $.
Có $ f\left ( { 1 } \right )=C+1=2\Rightarrow C=1\Rightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +1 $.
Do đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 4 } { 3 } $.
Ta có $ \int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { xf\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=2-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }\Rightarrow -4\int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-8+4\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $. (2)
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 2x } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { 4 } { 3 } $. (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )-2x } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0\Rightarrow f'\left ( { x } \right )=2x\Rightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +C $.
Có $ f\left ( { 1 } \right )=C+1=2\Rightarrow C=1\Rightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +1 $.
Do đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 4 } { 3 } $.