Bài tập nâng cao · Bài 102
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 102
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ thoả mãn $ f\left ( { 1 } \right )=5 $ và $ 2xf'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right )=6x $ với mọi $ x>0 $. Tính $ \int _{ 4 }^{ 9 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$2xf'(x)+f(x)=6x\Leftrightarrow \sqrt{x}f'(x)+\frac{1}{2\sqrt{x}}f(x)=3\sqrt{x}$,
hay $[\sqrt{x}f(x)]'=3\sqrt{x}$.
Lấy nguyên hàm: $\sqrt{x}f(x)=2x\sqrt{x}+C$, nên $f(x)=2x+\frac{C}{\sqrt{x}}$.
Từ $f(1)=5$ suy ra $C=3$. Do đó
$\int_4^9f(x)\,dx=\int_4^9\left(2x+\frac3{\sqrt{x}}\right)dx=71$.
$2xf'(x)+f(x)=6x\Leftrightarrow \sqrt{x}f'(x)+\frac{1}{2\sqrt{x}}f(x)=3\sqrt{x}$,
hay $[\sqrt{x}f(x)]'=3\sqrt{x}$.
Lấy nguyên hàm: $\sqrt{x}f(x)=2x\sqrt{x}+C$, nên $f(x)=2x+\frac{C}{\sqrt{x}}$.
Từ $f(1)=5$ suy ra $C=3$. Do đó
$\int_4^9f(x)\,dx=\int_4^9\left(2x+\frac3{\sqrt{x}}\right)dx=71$.