Bài tập nâng cao · Bài 103
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 103
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 0;1 \right] $. Biết $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ x.f'\left ( { 1-x } \right )-f\left ( { x } \right ) \right] }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 } $, tính $ f\left ( { 0 } \right ) $.
Xem lời giải
Lời giải
+ Xét $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { 1-x } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ f'\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x={ \rm{ d } }v \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u={ \rm{ d } }x \\ v=-f\left ( { 1-x } \right ) \end{array} \right. $
$ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { 1-x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\left | { -xf\left ( { 1-x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-f\left ( { 0 } \right )+\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ) }{ \rm{ d } }x $
+ Xét $ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Đặt $ t=1-x\Rightarrow dt=-dx $.
Đổi cận
$ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-\int _{ 1 }^{ 0 } { f\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Do đó $ I=-f\left ( { 0 } \right )+\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-f\left ( { 0 } \right )+\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Như vậy, $ \frac { 1 } { 2 }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ x.f'\left ( { 1-x } \right )-f\left ( { x } \right ) \right] }{ \rm{ d } }x=-f\left ( { 0 } \right )+\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x\Rightarrow f\left ( { 0 } \right )=-\frac { 1 } { 2 } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ f'\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x={ \rm{ d } }v \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u={ \rm{ d } }x \\ v=-f\left ( { 1-x } \right ) \end{array} \right. $
$ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { 1-x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\left | { -xf\left ( { 1-x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-f\left ( { 0 } \right )+\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ) }{ \rm{ d } }x $
+ Xét $ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Đặt $ t=1-x\Rightarrow dt=-dx $.
Đổi cận
$ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-\int _{ 1 }^{ 0 } { f\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Do đó $ I=-f\left ( { 0 } \right )+\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-f\left ( { 0 } \right )+\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Như vậy, $ \frac { 1 } { 2 }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ x.f'\left ( { 1-x } \right )-f\left ( { x } \right ) \right] }{ \rm{ d } }x=-f\left ( { 0 } \right )+\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x\Rightarrow f\left ( { 0 } \right )=-\frac { 1 } { 2 } $.