Bài tập nâng cao · Bài 104
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 104
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 1\,;2 \right] $ và thỏa mãn $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { 1 } { 21 } $, $ f\left ( { 1 } \right )=0 $, $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] } ^ { 2 } { \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 7 } $. Tính $ \int _{ 1 }^{ 2 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { 1 } { 21 } $.
Đặt: $ u=f\left ( { x } \right )\Rightarrow { \rm{ d } }u=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x $; $ { \rm{ d } }v=\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x\Rightarrow v=\frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } } { 3 } $.
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { \frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } } { 3 }f\left ( { x } \right ) } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }-\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } } { 3 }f'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $
= $ -\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } } { 3 }f'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $.
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 7 } $.
Do đó, $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] } ^ { 2 } { \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 7 } $
Mà $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 6 } }{ \rm{ d } }x=\left | { \left ( { \frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 7 } } { 7 } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 1 } { 7 } $.
Vậy, $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 6 } -2\left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )+\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 7 }-\frac { 2 } { 7 }+\frac { 1 } { 7 }=0 $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } -f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=0\Rightarrow \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } -f'\left ( { x } \right )=0 $
$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }+C $.
Mà $ f\left ( { 1 } \right )=0\Rightarrow C=\frac { -1 } { 4 }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 1 } { 4 } $.
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x\left ( { x-2 } \right ) ^ { 4 } -x } \right ) }{ \rm{ d } }x =\frac { 1 } { 4 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 5 } +2\left ( { x-2 } \right ) ^ { 4 } -x } \right ) }{ \rm{ d } }x =\frac { 1 } { 4 }\left | { \left ( { \frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 6 } } { 6 }+\frac { 2\left ( { x-2 } \right ) ^ { 5 } } { 5 }-\frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 } =\frac { 1 } { 4 }\left ( { -2-\frac { 1 } { 6 }+\frac { 2 } { 5 }+\frac { 1 } { 2 } } \right )=-\frac { 19 } { 60 } $.
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { 1 } { 21 } $.
Đặt: $ u=f\left ( { x } \right )\Rightarrow { \rm{ d } }u=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x $; $ { \rm{ d } }v=\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x\Rightarrow v=\frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } } { 3 } $.
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { \frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } } { 3 }f\left ( { x } \right ) } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }-\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } } { 3 }f'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $
= $ -\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } } { 3 }f'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $.
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 7 } $.
Do đó, $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] } ^ { 2 } { \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 7 } $
Mà $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 6 } }{ \rm{ d } }x=\left | { \left ( { \frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 7 } } { 7 } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 1 } { 7 } $.
Vậy, $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 6 } -2\left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )+\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 7 }-\frac { 2 } { 7 }+\frac { 1 } { 7 }=0 $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } -f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=0\Rightarrow \left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } -f'\left ( { x } \right )=0 $
$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }+C $.
Mà $ f\left ( { 1 } \right )=0\Rightarrow C=\frac { -1 } { 4 }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 1 } { 4 } $.
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x\left ( { x-2 } \right ) ^ { 4 } -x } \right ) }{ \rm{ d } }x =\frac { 1 } { 4 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 5 } +2\left ( { x-2 } \right ) ^ { 4 } -x } \right ) }{ \rm{ d } }x =\frac { 1 } { 4 }\left | { \left ( { \frac { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 6 } } { 6 }+\frac { 2\left ( { x-2 } \right ) ^ { 5 } } { 5 }-\frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 } =\frac { 1 } { 4 }\left ( { -2-\frac { 1 } { 6 }+\frac { 2 } { 5 }+\frac { 1 } { 2 } } \right )=-\frac { 19 } { 60 } $.