Bài tập nâng cao · Bài 105
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 105
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn $ \left[ 0;\,1 \right]\, $. Đặt $ g\left ( { x } \right )=1+2\int _{ 0 }^{ x } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } $. Biết $ g\left ( { x } \right )\geq \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } $ với mọi $ x\in \left[ 0;\,1 \right] $. Tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[3] { \left[ g\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x $ có giá trị lớn nhất bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ F\left ( { x } \right ) $ là một hàm số thoả mãn $ F\left ( { x } \right )=\int _{ 0 }^{ x } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} F'\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right ) \\ g\left ( { x } \right )=1+2F\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $.
Ta có $ 1+2F\left ( { x } \right )=g\left ( { x } \right )\geq \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } \Rightarrow \frac { f\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 1+2F\left ( { x } \right ) } }\leq 1\Rightarrow \frac { F'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 1+2F\left ( { x } \right ) } }-1\leq 0 $.
Xét $ \frac { F'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 1+2F\left ( { x } \right ) } }=1\Rightarrow \int { \frac { F'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 1+2F\left ( { x } \right ) } } }{ \rm{ d } }x=\int { { \rm{ d } }x }\Rightarrow \frac { 1 } { 2 }\int { \left ( { 1+2F\left ( { x } \right ) } \right ) } ^ { -\frac { 1 } { 3 } } { \rm{ d } }\left ( { 1+2F\left ( { x } \right ) } \right )=x+C $
$ \Rightarrow \frac { 3 } { 4 }.\sqrt[3] { \left ( { 1+2F\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }=x+C $.
Xét hàm số $ h\left ( { x } \right )=\frac { 3 } { 4 }.\sqrt[3] { \left ( { 1+2F\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }-\left ( { x+C } \right ),\,\,∀x\in \left[ 0;\,1 \right] $.
Ta có $ h'\left ( { x } \right )=\frac { F'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 1+2F\left ( { x } \right ) } }-1\leq 0 $ nên $ h\left ( { x } \right ) $ nghịch biến trên $ \left[ 0;\,1 \right] $.
Do đó $ h\left ( { x } \right )\leq h\left ( { 0 } \right )=\frac { 3 } { 4 }.\sqrt[3] { \left ( { 1+2F\left ( { 0 } \right ) } \right ) ^ { 2 } }-C $.
Ta có $ F\left ( { 0 } \right )=\int _{ 0 }^{ 0 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=0 $ nên $ h\left ( { x } \right )\leq \frac { 3 } { 4 }-C $. Ta chọn $ C $sao cho $ \frac { 3 } { 4 }-C=0\Rightarrow C=\frac { 3 } { 4 } $.
Khi đó $ \frac { 3 } { 4 }.\sqrt[3] { \left ( { 1+2F\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }\leq x+\frac { 3 } { 4 }\Rightarrow \sqrt[3] { \left ( { 1+2F\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }\leq \frac { 4 } { 3 }x+1\Rightarrow \sqrt[3] { \left[ g\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }\leq \frac { 4 } { 3 }x+1 $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[3] { \left[ g\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x\leq \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { 4 } { 3 }x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 5 } { 3 } $.
Cách khác.
Với mọi $ x\in \left[ 0;\,1 \right] $ta có $ g\left ( { x } \right )=1+2\int _{ 0 }^{ x } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} g\left ( { x } \right )\geq 1 \\ g\left ( { 0 } \right )=1 \\ g'\left ( { x } \right )=2f\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $.
Suy ra $ g\left ( { x } \right )\geq \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } \Rightarrow g\left ( { x } \right )\geq \left[ \frac { 1 } { 2 }g'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } \Rightarrow \frac { g'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { g\left ( { x } \right ) } }\leq 2 $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ x } { \frac { g'\left ( { t } \right ) } { \sqrt[3] { g\left ( { t } \right ) } } }{ \rm{ d } }t\leq \int _{ 0 }^{ x } { 2{ \rm{ d } }t }\Rightarrow \frac { 3 } { 2 }\left[ \sqrt[3] { \left[ g\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }-1 \right]\leq 2x $
$ \Rightarrow \sqrt[3] { \left[ g\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }\leq \frac { 4 } { 3 }x+1\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[3] { \left[ g\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }\leq \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { 4 } { 3 }x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 5 } { 3 } $.
Dấu bằng xảy ra khi $ g\left ( { x } \right )=\sqrt[] { \left ( { \frac { 4 } { 3 }x+1 } \right ) ^ { 3 } } $.
Vậy $ max\int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[3] { \left[ g\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x=\frac { 5 } { 3 } $.
Ta có $ 1+2F\left ( { x } \right )=g\left ( { x } \right )\geq \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } \Rightarrow \frac { f\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 1+2F\left ( { x } \right ) } }\leq 1\Rightarrow \frac { F'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 1+2F\left ( { x } \right ) } }-1\leq 0 $.
Xét $ \frac { F'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 1+2F\left ( { x } \right ) } }=1\Rightarrow \int { \frac { F'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 1+2F\left ( { x } \right ) } } }{ \rm{ d } }x=\int { { \rm{ d } }x }\Rightarrow \frac { 1 } { 2 }\int { \left ( { 1+2F\left ( { x } \right ) } \right ) } ^ { -\frac { 1 } { 3 } } { \rm{ d } }\left ( { 1+2F\left ( { x } \right ) } \right )=x+C $
$ \Rightarrow \frac { 3 } { 4 }.\sqrt[3] { \left ( { 1+2F\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }=x+C $.
Xét hàm số $ h\left ( { x } \right )=\frac { 3 } { 4 }.\sqrt[3] { \left ( { 1+2F\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }-\left ( { x+C } \right ),\,\,∀x\in \left[ 0;\,1 \right] $.
Ta có $ h'\left ( { x } \right )=\frac { F'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 1+2F\left ( { x } \right ) } }-1\leq 0 $ nên $ h\left ( { x } \right ) $ nghịch biến trên $ \left[ 0;\,1 \right] $.
Do đó $ h\left ( { x } \right )\leq h\left ( { 0 } \right )=\frac { 3 } { 4 }.\sqrt[3] { \left ( { 1+2F\left ( { 0 } \right ) } \right ) ^ { 2 } }-C $.
Ta có $ F\left ( { 0 } \right )=\int _{ 0 }^{ 0 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=0 $ nên $ h\left ( { x } \right )\leq \frac { 3 } { 4 }-C $. Ta chọn $ C $sao cho $ \frac { 3 } { 4 }-C=0\Rightarrow C=\frac { 3 } { 4 } $.
Khi đó $ \frac { 3 } { 4 }.\sqrt[3] { \left ( { 1+2F\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }\leq x+\frac { 3 } { 4 }\Rightarrow \sqrt[3] { \left ( { 1+2F\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }\leq \frac { 4 } { 3 }x+1\Rightarrow \sqrt[3] { \left[ g\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }\leq \frac { 4 } { 3 }x+1 $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[3] { \left[ g\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x\leq \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { 4 } { 3 }x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 5 } { 3 } $.
Cách khác.
Với mọi $ x\in \left[ 0;\,1 \right] $ta có $ g\left ( { x } \right )=1+2\int _{ 0 }^{ x } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} g\left ( { x } \right )\geq 1 \\ g\left ( { 0 } \right )=1 \\ g'\left ( { x } \right )=2f\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $.
Suy ra $ g\left ( { x } \right )\geq \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } \Rightarrow g\left ( { x } \right )\geq \left[ \frac { 1 } { 2 }g'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } \Rightarrow \frac { g'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { g\left ( { x } \right ) } }\leq 2 $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ x } { \frac { g'\left ( { t } \right ) } { \sqrt[3] { g\left ( { t } \right ) } } }{ \rm{ d } }t\leq \int _{ 0 }^{ x } { 2{ \rm{ d } }t }\Rightarrow \frac { 3 } { 2 }\left[ \sqrt[3] { \left[ g\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }-1 \right]\leq 2x $
$ \Rightarrow \sqrt[3] { \left[ g\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }\leq \frac { 4 } { 3 }x+1\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[3] { \left[ g\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }\leq \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { 4 } { 3 }x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 5 } { 3 } $.
Dấu bằng xảy ra khi $ g\left ( { x } \right )=\sqrt[] { \left ( { \frac { 4 } { 3 }x+1 } \right ) ^ { 3 } } $.
Vậy $ max\int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[3] { \left[ g\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x=\frac { 5 } { 3 } $.