Bài tập nâng cao · Bài 106
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 106
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ nhận giá trị dương thỏa mãn $ f'\left ( { x } \right )=\frac { 2f\left ( { x } \right ) } { x }+2x ^ { 3 } $, $ ∀x\in \left ( { 0\,;\,+\infty } \right ) $ và $ \int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { x ^ { 5 } } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 20 } $. Giá trị của biểu thức $ f\left ( { 2 } \right )+f\left ( { 3 } \right ) $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Với $ x\in \left ( { 0\,;\,+\infty } \right ) $:
Ta có $ f'\left ( { x } \right )=\frac { 2f\left ( { x } \right ) } { x }+2x ^ { 3 } $$ \Leftrightarrow \frac { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right )-2xf\left ( { x } \right ) } { x ^ { 4 } }=2x $$\Leftrightarrow \left(\frac{f(x)}{x^2}\right)'=2x$
$ \Rightarrow \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }=x ^ { 2 } +C $$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } \left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) $.
$ \Leftrightarrow f ^ { 2 } \left ( { x } \right )=x ^ { 4 } \left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) ^ { 2 } $.
Khi đó $ \int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { x ^ { 5 } } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 20 } $$ \Leftrightarrow \int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { x } { \left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 20 } $$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { 2 }\int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { { \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) } { \left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { 20 } $ $ \Leftrightarrow \int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { { \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) } { \left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { 10 } $
$ \Leftrightarrow \left | { -\frac { 1 } { x ^ { 2 } +C } } \right ._{ 2 } ^{ 3 }=\frac { 1 } { 10 } $ $ \Leftrightarrow \frac { 1 } { 4+C }-\frac { 1 } { 9+C }=\frac { 1 } { 10 } $$ \Leftrightarrow C ^ { 2 } +13C-14=0 $$ \Leftrightarrow \left[ C=1 \\ C=-14 \right. $.
+ Với $ C=-14 $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } \left ( { x ^ { 2 } -14 } \right ) $.
Chọn $ x=1\in \left ( { 0\,;\,+\infty } \right ) $ ta được $ f\left ( { 1 } \right )=-13 < 0 $ (vô lý vì $ f\left ( { x } \right ) $ là hàm số dương).
+ Với $ C=1 $ $ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) $ là hàm số dương.
Khi đó $ f\left ( { 2 } \right )+f\left ( { 3 } \right )=110 $.
Ta có $ f'\left ( { x } \right )=\frac { 2f\left ( { x } \right ) } { x }+2x ^ { 3 } $$ \Leftrightarrow \frac { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right )-2xf\left ( { x } \right ) } { x ^ { 4 } }=2x $$\Leftrightarrow \left(\frac{f(x)}{x^2}\right)'=2x$
$ \Rightarrow \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }=x ^ { 2 } +C $$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } \left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) $.
$ \Leftrightarrow f ^ { 2 } \left ( { x } \right )=x ^ { 4 } \left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) ^ { 2 } $.
Khi đó $ \int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { x ^ { 5 } } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 20 } $$ \Leftrightarrow \int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { x } { \left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 20 } $$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { 2 }\int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { { \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) } { \left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { 20 } $ $ \Leftrightarrow \int _{ 2 }^{ 3 } { \frac { { \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) } { \left ( { x ^ { 2 } +C } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { 10 } $
$ \Leftrightarrow \left | { -\frac { 1 } { x ^ { 2 } +C } } \right ._{ 2 } ^{ 3 }=\frac { 1 } { 10 } $ $ \Leftrightarrow \frac { 1 } { 4+C }-\frac { 1 } { 9+C }=\frac { 1 } { 10 } $$ \Leftrightarrow C ^ { 2 } +13C-14=0 $$ \Leftrightarrow \left[ C=1 \\ C=-14 \right. $.
+ Với $ C=-14 $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } \left ( { x ^ { 2 } -14 } \right ) $.
Chọn $ x=1\in \left ( { 0\,;\,+\infty } \right ) $ ta được $ f\left ( { 1 } \right )=-13 < 0 $ (vô lý vì $ f\left ( { x } \right ) $ là hàm số dương).
+ Với $ C=1 $ $ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) $ là hàm số dương.
Khi đó $ f\left ( { 2 } \right )+f\left ( { 3 } \right )=110 $.