Bài tập nâng cao · Bài 107
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 107
Cho hàm số $ y=f(x) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn: $ 3f(x)+f(2-x)=2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +4,∀x\in \mathbb{R} $. Tính giá trị của tích phân$ I\,=\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x) }dx $.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
$ 3f(x)+f(2-x)=2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +4,∀x\in \mathbb{R} $.
$ \Rightarrow 3\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x) }{ \rm{ d } }x+\int _{ 0 }^{ 2 } { f(2-x) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 2 } { (2x-2)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } }{ \rm{ d } }x+4\int _{ 0 }^{ 2 } { { \rm{ d } }x }\,\,(1) $.
Đặt $ t=2-x\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f(2-x) }{ \rm{ d } }(x)=-\int _{ 2 }^{ 0 } { f(t) }{ \rm{ d } }t=\int _{ 0 }^{ 2 } { f(t) }{ \rm{ d } }t=\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x) }{ \rm{ d } }x\,\,(2) $.
Đặt $ u=x ^ { 2 } -2x+1\Rightarrow { \rm{ d } }u=(2x-2){ \rm{ d } }x\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { (2x-2)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 1 } { e ^ { u } }{ \rm{ d } }u=0\,\,(3) $.
Thay $ (2) $và $ (3) $vào $ (1) $$ \Rightarrow 4\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x) }{ \rm{ d } }x=4\int _{ 0 }^{ 2 } { { \rm{ d } }x } $$ \Rightarrow I=\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x) }{ \rm{ d } }x=2 $. Chọn phương án$ C $.
Cách 2: Do $ 3f(x)+f(2-x)=2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +4,∀x\in \mathbb{R}\,\,(1) $
Thay $ x=2-x $ vào $ (1) $ ta có: $ 3f(2-x)+f(x)=-2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +4,∀x\in \mathbb{R}\,\,(2) $
Từ $ (1) $ và $ (2) $ ta có hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} 3f(x)+f(2-x)=2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +4,∀x\in \mathbb{R} \\ f(x)+3f(2-x)=-2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +4,∀x\in \mathbb{R}\,\,\,\, \end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 9f(x)+3f(2-x)=6(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +12 \\ f(x)+3f(2-x)=-2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +4\,\,\,\, \end{array} \right. $$ \Rightarrow f(x)=2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +1 $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f(x) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +1 } \right ) }{ \rm{ d } }x=2 $
$ 3f(x)+f(2-x)=2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +4,∀x\in \mathbb{R} $.
$ \Rightarrow 3\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x) }{ \rm{ d } }x+\int _{ 0 }^{ 2 } { f(2-x) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 2 } { (2x-2)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } }{ \rm{ d } }x+4\int _{ 0 }^{ 2 } { { \rm{ d } }x }\,\,(1) $.
Đặt $ t=2-x\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f(2-x) }{ \rm{ d } }(x)=-\int _{ 2 }^{ 0 } { f(t) }{ \rm{ d } }t=\int _{ 0 }^{ 2 } { f(t) }{ \rm{ d } }t=\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x) }{ \rm{ d } }x\,\,(2) $.
Đặt $ u=x ^ { 2 } -2x+1\Rightarrow { \rm{ d } }u=(2x-2){ \rm{ d } }x\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { (2x-2)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 1 } { e ^ { u } }{ \rm{ d } }u=0\,\,(3) $.
Thay $ (2) $và $ (3) $vào $ (1) $$ \Rightarrow 4\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x) }{ \rm{ d } }x=4\int _{ 0 }^{ 2 } { { \rm{ d } }x } $$ \Rightarrow I=\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x) }{ \rm{ d } }x=2 $. Chọn phương án$ C $.
Cách 2: Do $ 3f(x)+f(2-x)=2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +4,∀x\in \mathbb{R}\,\,(1) $
Thay $ x=2-x $ vào $ (1) $ ta có: $ 3f(2-x)+f(x)=-2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +4,∀x\in \mathbb{R}\,\,(2) $
Từ $ (1) $ và $ (2) $ ta có hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} 3f(x)+f(2-x)=2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +4,∀x\in \mathbb{R} \\ f(x)+3f(2-x)=-2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +4,∀x\in \mathbb{R}\,\,\,\, \end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 9f(x)+3f(2-x)=6(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +12 \\ f(x)+3f(2-x)=-2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +4\,\,\,\, \end{array} \right. $$ \Rightarrow f(x)=2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +1 $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f(x) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 2(x-1)e ^ { x ^ { 2 } -2x+1 } +1 } \right ) }{ \rm{ d } }x=2 $