Bài tập nâng cao · Bài 108
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 108
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $, thỏa mãn $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { tanx.f\left ( { cos ^ { 2 } x } \right )dx=2 } $ và $ \int _{ e }^{ e ^ { 2 } } { \frac { f\left ( { lnx ^ { 2 } } \right ) } { xlnx }dx }=2 $. Tính $ \int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ 2 } { \frac { f\left ( { 2x } \right ) } { x }dx } $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ t=cos ^ { 2 } x $ suy ra $ dt=-2sinx.cosxd{ \rm{ x } } $.
Suy ra$ I_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { tanx.f\left ( { cos ^ { 2 } x } \right )dx= }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \frac { sinx } { cosx }.f\left ( { cos ^ { 2 } x } \right )dx= }-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \frac { -2sinxcosx } { cos ^ { 2 } x }.f\left ( { cos ^ { 2 } x } \right )dx= }\frac { 1 } { 2 }\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t }dt } $Đặt $ t=ln ^ { 2 } x $ suy ra $ dt=2\frac { lnx } { x }dx $.
Suy ra $ I_{ 2 } =\int _{ e }^{ e ^ { 2 } } { \frac { f\left ( { ln ^ { 2 } x } \right ) } { xlnx }dx }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ e }^{ e ^ { 2 } } { \frac { 2lnx.f\left ( { ln ^ { 2 } x } \right ) } { xln ^ { 2 } x }dx }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt $.
Đặt $ t=2x $ suy ra $ dt=2dx $.
Ta có $ I=\int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ 2 } { \frac { f\left ( { 2x } \right ) } { x }dx }=\int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ 2 } { \frac { f\left ( { 2x } \right ) } { 2x }d\left ( { 2x } \right ) }=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 4 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t }d\left ( { t } \right ) }=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t }dt }+\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt=2\left ( { I_{ 1 } +I_{ 2 } } \right )=2\left ( { 2+2 } \right )=8. $
Suy ra$ I_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { tanx.f\left ( { cos ^ { 2 } x } \right )dx= }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \frac { sinx } { cosx }.f\left ( { cos ^ { 2 } x } \right )dx= }-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \frac { -2sinxcosx } { cos ^ { 2 } x }.f\left ( { cos ^ { 2 } x } \right )dx= }\frac { 1 } { 2 }\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t }dt } $Đặt $ t=ln ^ { 2 } x $ suy ra $ dt=2\frac { lnx } { x }dx $.
Suy ra $ I_{ 2 } =\int _{ e }^{ e ^ { 2 } } { \frac { f\left ( { ln ^ { 2 } x } \right ) } { xlnx }dx }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ e }^{ e ^ { 2 } } { \frac { 2lnx.f\left ( { ln ^ { 2 } x } \right ) } { xln ^ { 2 } x }dx }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt $.
Đặt $ t=2x $ suy ra $ dt=2dx $.
Ta có $ I=\int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ 2 } { \frac { f\left ( { 2x } \right ) } { x }dx }=\int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ 2 } { \frac { f\left ( { 2x } \right ) } { 2x }d\left ( { 2x } \right ) }=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 4 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t }d\left ( { t } \right ) }=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t }dt }+\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt=2\left ( { I_{ 1 } +I_{ 2 } } \right )=2\left ( { 2+2 } \right )=8. $