Bài tập nâng cao · Bài 109
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 109
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 0;1 \right] $ và $ f\left ( { 0 } \right )+f\left ( { 1 } \right )=0 $. Biết $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 },{ \rm{ } }\int _{ 0 }^{ 1 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { \pi x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 2 } $. Tính $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Xét tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { \pi x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 2 } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=cos\left ( { \pi x } \right ) \\ dv=f'\left ( { x } \right )dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=-\pi sin\left ( { \pi x } \right )dx \\ v=f\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $, ta có
$ I=\left | { f\left ( { x } \right )cos\left ( { \pi x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+\pi \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )sin\left ( { \pi x } \right )dx }=-f\left ( { 1 } \right )-f\left ( { 0 } \right )+\pi \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )sin\left ( { \pi x } \right )dx }=\pi \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )sin\left ( { \pi x } \right )dx } $
Mà $ I=\frac { \pi } { 2 }\Leftrightarrow \pi \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )sin\left ( { \pi x } \right )dx }=\frac { \pi } { 2 }\Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )sin\left ( { \pi x } \right )dx }=\frac { 1 } { 2 } $
Mặt khác: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { sin ^ { 2 } \left ( { \pi x } \right )dx }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ 1-cos\left ( { 2\pi x } \right ) \right]dx }=\left | { \frac { 1 } { 2 }\left[ x-\frac { 1 } { 2\pi }sin\left ( { 2\pi x } \right ) \right] } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 1 } { 2 } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f ^ { 2 } \left ( { x } \right )-2.f\left ( { x } \right )sin\left ( { \pi x } \right )+sin ^ { 2 } \left ( { \pi x } \right ) \right]dx=\frac { 1 } { 2 }-2.\frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }=0 } $.
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f\left ( { x } \right )-sin\left ( { \pi x } \right ) \right] ^ { 2 } dx=0 } $
Vì $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 0;1 \right] $ và $ \left[ f\left ( { x } \right )-sin\left ( { \pi x } \right ) \right] ^ { 2 } \geq 0,∀x\in \left[ 0;1 \right] $ nên ta suy ra $ f\left ( { x } \right )-sin\left ( { \pi x } \right )=0\Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=sin\left ( { \pi x } \right ) $.
Do đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { sin\left ( { \pi x } \right )dx=\left | { -\frac { 1 } { \pi }cos\left ( { \pi x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 2 } { \pi } } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=cos\left ( { \pi x } \right ) \\ dv=f'\left ( { x } \right )dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=-\pi sin\left ( { \pi x } \right )dx \\ v=f\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $, ta có
$ I=\left | { f\left ( { x } \right )cos\left ( { \pi x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+\pi \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )sin\left ( { \pi x } \right )dx }=-f\left ( { 1 } \right )-f\left ( { 0 } \right )+\pi \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )sin\left ( { \pi x } \right )dx }=\pi \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )sin\left ( { \pi x } \right )dx } $
Mà $ I=\frac { \pi } { 2 }\Leftrightarrow \pi \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )sin\left ( { \pi x } \right )dx }=\frac { \pi } { 2 }\Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )sin\left ( { \pi x } \right )dx }=\frac { 1 } { 2 } $
Mặt khác: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { sin ^ { 2 } \left ( { \pi x } \right )dx }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ 1-cos\left ( { 2\pi x } \right ) \right]dx }=\left | { \frac { 1 } { 2 }\left[ x-\frac { 1 } { 2\pi }sin\left ( { 2\pi x } \right ) \right] } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 1 } { 2 } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f ^ { 2 } \left ( { x } \right )-2.f\left ( { x } \right )sin\left ( { \pi x } \right )+sin ^ { 2 } \left ( { \pi x } \right ) \right]dx=\frac { 1 } { 2 }-2.\frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }=0 } $.
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f\left ( { x } \right )-sin\left ( { \pi x } \right ) \right] ^ { 2 } dx=0 } $
Vì $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 0;1 \right] $ và $ \left[ f\left ( { x } \right )-sin\left ( { \pi x } \right ) \right] ^ { 2 } \geq 0,∀x\in \left[ 0;1 \right] $ nên ta suy ra $ f\left ( { x } \right )-sin\left ( { \pi x } \right )=0\Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=sin\left ( { \pi x } \right ) $.
Do đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { sin\left ( { \pi x } \right )dx=\left | { -\frac { 1 } { \pi }cos\left ( { \pi x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 2 } { \pi } } $