Bài tập nâng cao · Bài 110
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 110
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên (0; 1) thỏa mãn f(0) = 0 và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f ^ { 2 } (x)d{ \rm{ x } }=\frac { 9 } { 2 } } $; $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f'(x).cos\frac { \pi x } { 2 }{ \rm{ d } }{ \rm{ x } }=\frac { 3\pi } { 4 } } $. Tính $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx } $ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f'(x).cos\frac { \pi x } { 2 }{ \rm{ d } }{ \rm{ x } }=\frac { 3\pi } { 4 } } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\frac { \pi x } { 2 }=u \\ f'(x)dx=dv \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=-\frac { \pi } { 2 }.sin\frac { \pi x } { 2 }{ \rm{ d } }{ \rm{ x } } \\ v=f(x) \end{array} \right. $
Suy ra: $ \frac { 3\pi } { 4 }=cos\frac { \pi x } { 2 }.f(x)\left | { 01 } \right .+\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \pi } { 2 }.f(x).sin\frac { \pi x } { 2 }{ \rm{ d } }{ \rm{ x } } } $.
$\Rightarrow \frac{3\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{2}f(1)-\cos0\,f(0)+\frac{\pi}{2}\int_0^1f(x)\sin\frac{\pi x}{2}\,dx\Rightarrow \int_0^1f(x)\sin\frac{\pi x}{2}\,dx=\frac32$.
Theo đề: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f ^ { 2 } (x)dx=\frac { 9 } { 2 } } $.
Mặt khác, $\int_0^1\sin^2\frac{\pi x}{2}\,dx=\int_0^1\frac{1-\cos\pi x}{2}\,dx=\frac12\left[x-\frac{\sin(\pi x)}{\pi}\right]_0^1=\frac12$.
Nên ta có $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f ^ { 2 } (x)-6f(x).sin\frac { \pi x } { 2 }+9sin ^ { 2 } \frac { \pi x } { 2 } \right] }{ \rm{ d } }{ \rm{ x } }=\frac { 9 } { 2 }-6.\frac { 3 } { 2 }+9.\frac { 1 } { 2 }=0 $.
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f(x)-3sin\frac { \pi x } { 2 } } \right ) } ^ { 2 } { \rm{ d } }{ \rm{ x } }=0 $.
Do hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm liên tục trên (0; 1) nên $ f(x)=3sin\frac { \pi x } { 2 } $.
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }=\int _{ 0 }^{ 1 } { 3sin\frac { \pi x } { 2 } }{ \rm{ d } }{ \rm{ x } }=-3.\frac { 2 } { \pi }.cos\frac { \pi x } { 2 }\left | { 01= } \right .\frac { 6 } { \pi } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\frac { \pi x } { 2 }=u \\ f'(x)dx=dv \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=-\frac { \pi } { 2 }.sin\frac { \pi x } { 2 }{ \rm{ d } }{ \rm{ x } } \\ v=f(x) \end{array} \right. $
Suy ra: $ \frac { 3\pi } { 4 }=cos\frac { \pi x } { 2 }.f(x)\left | { 01 } \right .+\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \pi } { 2 }.f(x).sin\frac { \pi x } { 2 }{ \rm{ d } }{ \rm{ x } } } $.
$\Rightarrow \frac{3\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{2}f(1)-\cos0\,f(0)+\frac{\pi}{2}\int_0^1f(x)\sin\frac{\pi x}{2}\,dx\Rightarrow \int_0^1f(x)\sin\frac{\pi x}{2}\,dx=\frac32$.
Theo đề: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f ^ { 2 } (x)dx=\frac { 9 } { 2 } } $.
Mặt khác, $\int_0^1\sin^2\frac{\pi x}{2}\,dx=\int_0^1\frac{1-\cos\pi x}{2}\,dx=\frac12\left[x-\frac{\sin(\pi x)}{\pi}\right]_0^1=\frac12$.
Nên ta có $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f ^ { 2 } (x)-6f(x).sin\frac { \pi x } { 2 }+9sin ^ { 2 } \frac { \pi x } { 2 } \right] }{ \rm{ d } }{ \rm{ x } }=\frac { 9 } { 2 }-6.\frac { 3 } { 2 }+9.\frac { 1 } { 2 }=0 $.
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f(x)-3sin\frac { \pi x } { 2 } } \right ) } ^ { 2 } { \rm{ d } }{ \rm{ x } }=0 $.
Do hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm liên tục trên (0; 1) nên $ f(x)=3sin\frac { \pi x } { 2 } $.
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }=\int _{ 0 }^{ 1 } { 3sin\frac { \pi x } { 2 } }{ \rm{ d } }{ \rm{ x } }=-3.\frac { 2 } { \pi }.cos\frac { \pi x } { 2 }\left | { 01= } \right .\frac { 6 } { \pi } $.