Bài tập nâng cao · Bài 111
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 111
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $có đạo hàm trên khoảng $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ thỏa mãn $ f\left ( { x } \right )=x.ln\left ( { \frac { x ^ { 3 } } { x.f'\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } } \right ) $ và $ f\left ( { 1 } \right )=0 $. Tính tích phân $ I=\int _{ 1 }^{ 5 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Từ giả thiết và $ f\left ( { x } \right )=x.ln\left ( { \frac { x ^ { 3 } } { x.f'\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } } \right ) $$ \Leftrightarrow \frac { f\left ( { x } \right ) } { x }=ln\frac { x ^ { 3 } } { x.f'\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } $
$ \Leftrightarrow { \rm{ e } } ^ { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } } =\frac { x ^ { 3 } } { x.f'\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } $$ \Leftrightarrow \frac { x.f'\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }.{ \rm{ e } } ^ { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } } =x $$\Leftrightarrow \left(\frac{f(x)}x\right)'e^{f(x)/x}=x$ (1)
Lấy nguyên hàm hai vế của (1) suy ra $ { \rm{ e } } ^ { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } } =\frac { x ^ { 2 } } { 2 }+C $.
Do $ f\left ( { 1 } \right )=0 $$ \Rightarrow $$ C=\frac { 1 } { 2 } $, nên$ { \rm{ e } } ^ { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } } =\frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=xln\frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 } $ với $ x\in \left ( { 0;+\infty } \right ) $.
$ I=\int _{ 1 }^{ 5 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 5 } { x.ln\frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 }{ \rm{ d } }x } $ (2).
Đặt $ u=ln\frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 }\Rightarrow { \rm{ d } }u=\frac { 2x } { x ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }x $; $ { \rm{ d } }v=x{ \rm{ d } }x $, chọn $ v=\frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 } $.
Theo công thức tích phân từng phần, ta được:
$ I=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 }.ln\frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 5 }-\int _{ 1 }^{ 5 } { x{ \rm{ d } }x }=13ln13-\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ 1 } ^{ 5 } =13ln13-12 $.
$ \Leftrightarrow { \rm{ e } } ^ { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } } =\frac { x ^ { 3 } } { x.f'\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } $$ \Leftrightarrow \frac { x.f'\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }.{ \rm{ e } } ^ { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } } =x $$\Leftrightarrow \left(\frac{f(x)}x\right)'e^{f(x)/x}=x$ (1)
Lấy nguyên hàm hai vế của (1) suy ra $ { \rm{ e } } ^ { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } } =\frac { x ^ { 2 } } { 2 }+C $.
Do $ f\left ( { 1 } \right )=0 $$ \Rightarrow $$ C=\frac { 1 } { 2 } $, nên$ { \rm{ e } } ^ { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } } =\frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=xln\frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 } $ với $ x\in \left ( { 0;+\infty } \right ) $.
$ I=\int _{ 1 }^{ 5 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 5 } { x.ln\frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 }{ \rm{ d } }x } $ (2).
Đặt $ u=ln\frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 }\Rightarrow { \rm{ d } }u=\frac { 2x } { x ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }x $; $ { \rm{ d } }v=x{ \rm{ d } }x $, chọn $ v=\frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 } $.
Theo công thức tích phân từng phần, ta được:
$ I=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 }.ln\frac { x ^ { 2 } +1 } { 2 } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 5 }-\int _{ 1 }^{ 5 } { x{ \rm{ d } }x }=13ln13-\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ 1 } ^{ 5 } =13ln13-12 $.