Bài tập nâng cao · Bài 112
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 112
Hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm cấp hai trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn: $ f ^ { 2 } \left ( { 1-x } \right )=\left ( { x ^ { 2 } +3 } \right ).f\left ( { x+1 } \right )\,∀x\in \mathbb{R} $. Biết $ f\left ( { x } \right )\neq 0\,,\,∀x\in \mathbb{R} $, tính $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 2x-1 } \right )f''\left ( { x } \right ).{ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt: $ u=2x-1\Rightarrow { \rm{ d } }u=2{ \rm{ d } }x $,
$ { \rm{ d } }v=f''\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x\Rightarrow v=f'\left ( { x } \right ) $.
$ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 2x-1 } \right )f''\left ( { x } \right ).{ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { 2x-1 } \right )f'\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }-\int _{ 0 }^{ 2 } { 2f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =3f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )-\left | { 2f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }=3f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )-2f\left ( { 2 } \right )+2f\left ( { 0 } \right ) $(*).
Ta có: $ f ^ { 2 } \left ( { 1-x } \right )=\left ( { x ^ { 2 } +3 } \right ).f\left ( { x+1 } \right )\,∀x\in \mathbb{R} $
Ta lấy:
* $ x=1\Rightarrow f ^ { 2 } \left ( { 0 } \right )=4.f\left ( { 2 } \right ) $.
* $ x=-1\Rightarrow f ^ { 2 } \left ( { 2 } \right )=4.f\left ( { 0 } \right )\Rightarrow f ^ { 4 } \left ( { 2 } \right )=64.f\left ( { 2 } \right ) $.
Mà theo đề $ f\left ( { x } \right )\neq 0\,,\,∀x\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left ( { 2 } \right )=4 $.
Vậy, ta có: $ f\left ( { 2 } \right )=f\left ( { 0 } \right )=4 $(1).
Ta có: $ -2f'\left ( { 1-x } \right )f\left ( { 1-x } \right )=2x.f\left ( { x+1 } \right )\,+\left ( { x ^ { 2 } +3 } \right ).f'\left ( { x+1 } \right ) $.
Ta lấy:
$ x=1\Rightarrow -2f'\left ( { 0 } \right )f\left ( { 0 } \right )=2f\left ( { 2 } \right )+4f'\left ( { 2 } \right )\Rightarrow f'\left ( { 2 } \right )+2f'\left ( { 0 } \right )=-2 $.$ x=-1\Rightarrow -2f'\left ( { 2 } \right )f\left ( { 2 } \right )=-2f\left ( { 0 } \right )+4f'\left ( { 0 } \right )\Rightarrow 2f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )=2 $.
Vậy, ta có: $ f'\left ( { 0 } \right )=-2 $, $ f'\left ( { 2 } \right )=2 $(2).
Thế (1) và (2) vào (*), suy ra $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 2x-1 } \right )f''\left ( { x } \right ).{ \rm{ d } }x }=3f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )-2f\left ( { 2 } \right )+2f\left ( { 0 } \right ) =3.2-2-2.4+2.4=4 $.
$ { \rm{ d } }v=f''\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x\Rightarrow v=f'\left ( { x } \right ) $.
$ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 2x-1 } \right )f''\left ( { x } \right ).{ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { 2x-1 } \right )f'\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }-\int _{ 0 }^{ 2 } { 2f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =3f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )-\left | { 2f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }=3f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )-2f\left ( { 2 } \right )+2f\left ( { 0 } \right ) $(*).
Ta có: $ f ^ { 2 } \left ( { 1-x } \right )=\left ( { x ^ { 2 } +3 } \right ).f\left ( { x+1 } \right )\,∀x\in \mathbb{R} $
Ta lấy:
* $ x=1\Rightarrow f ^ { 2 } \left ( { 0 } \right )=4.f\left ( { 2 } \right ) $.
* $ x=-1\Rightarrow f ^ { 2 } \left ( { 2 } \right )=4.f\left ( { 0 } \right )\Rightarrow f ^ { 4 } \left ( { 2 } \right )=64.f\left ( { 2 } \right ) $.
Mà theo đề $ f\left ( { x } \right )\neq 0\,,\,∀x\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left ( { 2 } \right )=4 $.
Vậy, ta có: $ f\left ( { 2 } \right )=f\left ( { 0 } \right )=4 $(1).
Ta có: $ -2f'\left ( { 1-x } \right )f\left ( { 1-x } \right )=2x.f\left ( { x+1 } \right )\,+\left ( { x ^ { 2 } +3 } \right ).f'\left ( { x+1 } \right ) $.
Ta lấy:
$ x=1\Rightarrow -2f'\left ( { 0 } \right )f\left ( { 0 } \right )=2f\left ( { 2 } \right )+4f'\left ( { 2 } \right )\Rightarrow f'\left ( { 2 } \right )+2f'\left ( { 0 } \right )=-2 $.$ x=-1\Rightarrow -2f'\left ( { 2 } \right )f\left ( { 2 } \right )=-2f\left ( { 0 } \right )+4f'\left ( { 0 } \right )\Rightarrow 2f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )=2 $.
Vậy, ta có: $ f'\left ( { 0 } \right )=-2 $, $ f'\left ( { 2 } \right )=2 $(2).
Thế (1) và (2) vào (*), suy ra $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 2x-1 } \right )f''\left ( { x } \right ).{ \rm{ d } }x }=3f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )-2f\left ( { 2 } \right )+2f\left ( { 0 } \right ) =3.2-2-2.4+2.4=4 $.