Bài tập nâng cao · Bài 113
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 113
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $. Biết $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f\left ( { tan\,x } \right ) }{ \rm{ d } }x=4 $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2 } f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } +1 } }{ \rm{ d } }x=2 $. Tính $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $.
Xem lời giải
Lời giải
Có $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f\left ( { tan\,x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t ^ { 2 } +1 } }{ \rm{ d } }t=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } +1 } }{ \rm{ d } }{ \rm{ x } }{ \rm{ = } }{ \rm{ 4 } }{ \rm{ ; } } $
Đặt $t=\tan x$, $dt=(\tan^2x+1)\,dx$, $dx=\frac{dt}{t^2+1}$; đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$, $x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow t=1$.
$ \Rightarrow I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } +1 } }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } +1 } }{ \rm{ d } }x+\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2 } f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } +1 } }{ \rm{ d } }x=4+2=6 $.
Đặt $t=\tan x$, $dt=(\tan^2x+1)\,dx$, $dx=\frac{dt}{t^2+1}$; đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$, $x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow t=1$.
$ \Rightarrow I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } +1 } }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } +1 } }{ \rm{ d } }x+\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2 } f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } +1 } }{ \rm{ d } }x=4+2=6 $.